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Markovsche Ketten - Klausur Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Vorlesung „Markovsche Ketten“ am KIT. Er dient als Prüfungsvorbereitung. Ich habe die Vorlesungen bei Herrn Dr. Bernhard Klar im Sommersemester 2015 gehört. Aufgrund des sehr guten Skripts wurde dieser Artikel nie richtig begonnen. Behandelter Stoff Es wäre toll, wenn ich von jeder Vorlesung einen … Read More »

Wie berechnet man das charakteristische Polynom? Will man das charakteristische Polynom einer Abbildungsmatrix berechnen, so muss man zuerst sicher im Umgang mit Determinanten sein. Rechenregeln für Determinanten Man darf eine Zeile mit einer Konstanten a multiplizieren, muss dann aber die Determinante durch a teilen: $$det \begin{pmatrix} 3 & 2 & 12 & 5 \ 2 & 1 & 6 & 4 \ 2 … Read More »

Lernkontrolle: Lineare Algebra I Hier sind ein paar Fragen zur Linearen Algebra I und die Antworten dazu. Die LaTeX-Dokumente gibts natürlich auch. Bei ein paar Fragen, bin ich mir nicht sicher wie die Antwort lautet. Ich habs immer dazu geschrieben. Wenn ihr Fehler findet, hinterlasst bitte einfach hier einen Kommentar. Ich verbessere es dann … Read More »

Definitionen aus GBI Formale Sprachen A heißt Alphabet $:\Leftrightarrow$ A ist eine endliche, nicht leere Menge aus Zeichen. w heißt Wort aus $A^ : \Leftrightarrow$ w ist eine endliche Aneinanderreihung von Zeichen aus A L heißt formale Sprache $: \Leftrightarrow L \subseteq A^$ G heißt formale Grammatik $: \Leftrightarrow G = (N, T, S, P)$ wobei: N … Read More »

Konstruktion der Chomsky-Normalform Dieser Artikel könnte inhaltliche Fehler beinhalten. Bitte lest euch die Kommentare durch. Die Chomsky-Normalform ist eine bestimmte Art, eine kontextfreie Grammatik zu formulieren. Dabei haben nur die Produktionsregeln eine festgelegte Form, alles andere ist wie immer. Die Chomsky-Normalform kommt bei dem CYK-Algorithmus, der das Wortproblem für kontextfreie Grammatiken löst, zum … Read More »

Wie führe ich einen Induktionsbeweis? Der Induktionsbeweis eignet sich häufig, wenn es um Aussagen über die Natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ geht, allerdings kann er auch für die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ verwendet werden. Prinzip Der Gedanke hinter dem Induktionsbeweis ist, dass man sehr leicht für ein einzelnes Element zeigen kann, dass eine Aussage gilt. Diese … Read More »

Prädikatenlogik: Aussagen formalisieren Es ist häufig von Vorteil, wenn man Aussagen formalisieren kann. Es ist beispielsweise gar nicht so leicht das exakte Gegenteil einer Aussage zu finden. Allgemeines zur Prädikatenlogik x sei im folgenden eine Aussage $\neg x$: Die Negation der Aussage x $\exists x$: Es existiert mindestens ein x (Quantor) $\forall x … Read More »

Einführung in die abzählende Kombinatorik Die abzählende Kombinatorik beschäftigt sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen. Begriffe Permutation Eine Permutation ist eine Veränderung der Reihenfolge einer geordneten Anzahl von Objekten. (Weil die Objekte in irgend einer Art geordnet sein müssen, damit sich eine Reihenfolge ändern kann, will ich diese Ansammlung nicht "Menge … Read More »

Wie führe ich einen sauberen Beweis? In der Mathematik spielen Beweise eine zentrale Rolle. Es gibt verschiedene Beweisarten, aber im Folgenden möchte ich nur einen direkten Beweis führen. Dieses Beispiel wurde in der Übung zu Analysis I von Herrn Bolleyer behandelt. Gliederung Beweise kann man in drei Teile gliedern: Voraussetzungen: Hier werden spezielle Objekte, die im … Read More »

Analysis I - Teil 1 Begriffe und Bezeichnungen Mengen Es seien M und N Mengen. $M \cup N$: Vereinigung - Die Elemente sind in M oder N $M \cap N$: Durchschnitt ("Schnittmenge") - Die Elemente sind in M und N $M \setminus N$: Differenzmenge - Die Elemente sind in M aber nicht in N $M \subseteq N$: Teilmenge … Read More »