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Inverting matrices Suppose you have a matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ and you want to invert it. I've already explained how to invert a matrix (English explanation), but I didn't provide any code and / or runtime analysis. C++ Code #include #include #include using namespace std; void … Read More »

Solving equations of upper triangular matrices Suppose you have an equation like $R \cdot x = b$ with $R \in \mathbb{R}^{n \times n}$ and $x,b \in \mathbb{R}^n$. $b$ and $R$ are given and you want to solve for $x$. Example With $n=5$, the problem could look like this: $$\begin{pmatrix} 2 … Read More »

Solving equations of lower unitriangular matrices Suppose you have an equation like $L \cdot x = b$ with $L \in \mathbb{R}^{n \times n}$ and $x,b \in \mathbb{R}^n$. $b$ and $L$ are given and you want to solve for $x$. Example With $n=5$, the problem could look like this: $$\begin{pmatrix} 1 … Read More »

Jordansche Normalform: 4x4 Matrizen Hier sind $4 \times 4$ Beispiele zum Hauptartikel Wie berechnet man die Jordan’sche Normalform?. Beispiel 1 Gegeben sei die Matrix $A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$: $$A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 47 & 11\ 3 & 2 & 8 & 15\ 0 & 0 & 3 & 1\ 0 & 0 & 8 & 1 \end{pmatrix}$$ Jordannormalform … Read More »

Berechnung der euklidischen Normalform Die euklidische Normalform einer linearen Isometrie, manchmal auch lineare Normalform gennant, hat folgende Gestalt: Euklidische Normalform Bei einer $n \times n$-Matrix gilt also folgende Gleichung: $n = p + q + 2r$ Bestimmung der Normalform Sei $\Phi$ eine lineare Isometrie eines euklidischen Vektorraumes. Dann habe $\Phi$ die Abbildungsmatrix $A$. Sei $B := A … Read More »

Eigenschaften von Abbildungsmatrizen Eine Abbildungsmatrix beschreibt eine lineare Abbildungs zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen. Sie ist abhängig von der Basis des Urraums und des Zielraumes. Formale Definition Eine Lineare Abbildung $\Phi$ muss folgende Eigenschaften erfüllen: $\Phi: V \rightarrow W$ ist eine Abbildung $\forall x, y \in W : \Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y … Read More »

Wie bestimme ich das Inverse einer Matrix? Nicht alle Matrizen sind invertierbar. Matrizen, die invertierbar sind, nennt man auch regulär. Die Menge aller invertierbaren $n \times n$–Matrizen über einem Grundkörper (oder Grundring) K bildet eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe $GL_n(K)$. Das Inverse einer Matrix A wird berechnet, indem eine Matrix (A … Read More »

Wie bestimme ich die Basiswechselmatrix? Eine Basiswechselmatrix oder auch Übergangsmatrix dient dem Basiswechsel. Angenommen man hat zwei Basen des $\mathbb{R}^2$-Vektorraumes: $$B = \{\overbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}^{b_1}, \overbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}}^{b_2} \}$$ und $$\bar B = \{\underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}}_{\bar b_1}, \underbrace{\begin … Read More »