Aufgaben zur Integralrechnung

Hier sind ein paar schöne Aufgaben und ausführliche Lösungsfindungsbeschreibungen zur Integralrechnung.

Diesen Artikel werde ich ergänzen, wenn ich weitere schöne Aufgaben finde.

Aufgabe 1

Aufgabenstellung:

Berechne das bestimmte Integral $\int_1^2 \frac{\arctan(x)}{x^2} dx$.

Wissen:

  • Partielle Integration
  • Integration durch Substitution
  • Partialbruchzerlegung
  • $(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}$
  • $\arctan(1) = \frac{1}{4}$

Rechnung:

Partielle Integration mit:

  • $f(x) = \arctan(x) \rightarrow f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
  • $g'(x)= x^{-2} \rightarrow g(x) = -x^{-1}$

$ \begin{align} \int_1^2 \frac{\arctan(x)}{x^2} dx &= \left [ \arctan(x) \cdot (- \frac{1}{x}) \right ]_1^2 - \int_1^2 \frac{-1}{x \cdot (1+x^2)} dx\\ &= - \frac{1}{2} \arctan(2) + \underbrace{\arctan(1)}_{\frac{1}{4}} + \int_1^2 \frac{1}{x \cdot (1+x^2)} dx \end{align}$

Partialbruchzerlegung mit: $\frac{A}{x} + \frac{B}{1+x^2} = \frac{1}{x \cdot (1+x^2)}\\ \Leftrightarrow A \cdot (1+x^2) + B \cdot x = 1\\ \Leftrightarrow A + Bx + Ax^2 = 1\\ \Rightarrow A= 1 \land B = -x:\\ \frac{1}{x} + \frac{-x}{1+x^2} = \frac{1}{x \cdot (1+x^2)}$

$\begin{align} \int_1^2 \frac{\arctan(x)}{x^2} dx &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \arctan(2) + \int_1^2 \frac{1}{x} dx - \int_1^2 \frac{x}{1+x^2} dx\\ \end{align}$

Substitution mit:

  • $u := 1+x^2$
  • $\frac{du}{dx} = u' = 2x \rightarrow dx = \frac{du}{2x}$

$\begin{align} \int_1^2 \frac{\arctan(x)}{x^2} dx &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \arctan(2) + \left [ \log x \right ]_1^2 - \int_2^5 \frac{1}{2u} du\\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \arctan(2) + \log 2 - \frac{1}{2} \int_2^5 x dx\\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \arctan(2) + \log 2 - \frac{1}{2} \left [ \log(x) \right ]_2^5\\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \arctan(2) + \log 2 - \frac{1}{2} \log 5 + \frac{1}{2} \log 2\\ &= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \arctan(2) + \frac{3}{2} \log 2 - \frac{1}{2} \log 5\\ &= \frac{1}{2} \cdot \left (\frac{1}{2} - \arctan(2) + 3 \log 2 - \log 5 \right ) \end{align}$

Kontrolle: Wolfram|Alpha

Aufgabe 2

Diese Aufgabe war in der Analysis I-Klausur vom Herbst 2006 am KIT. Aufgabenstellung:

Berechne das bestimmte Integral $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(\sqrt[3]{x}+2) \cdot (\sqrt[3]{x}+1)} dx$.

Wissen:

  • Integration durch Substitution
  • Partialbruchzerlegung
  • Logarithmusgesetze

Rechnung: Kommt vielleicht später noch.

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