Eine Basiswechselmatrix oder auch Übergangsmatrix dient dem Basiswechsel.
Angenommen man hat zwei Basen des \(\mathbb{R}^2\)-Vektorraumes:
\(B = \{\overbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}^{b_1}, \overbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}}^{b_2} \}\) und
\(\bar B = \{\underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}}_{\bar b_1}, \underbrace{\begin{pmatrix} 8 \\ 13 \end{pmatrix}}_{\bar b_2} \}\)
Sei nun \(v := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Vektor zur Standardbasis.
Da \(B\) und \(\bar B\) auch Basen des \(\mathbb{R}^2\) sind, kann man v auch zu diesen Basen darstellen:
\(\Theta_{B}(v) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\) und
\(\Theta_{\bar B}(v) = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Wie kann man nun diese neue Darstellung berechnen?
Nun, wir bestimmen eine Matrix A für die gilt:
\(A \cdot \Theta_B(v) = \Theta_{\bar B}(v) ~~~ \forall v \in \mathbb{R}^2\). Diese Matrix findet man, indem man beide geordneten Basen nebeneinander schreibt und die rechte Seite “durchgaußt”:
\(\left( \begin{array}{c c | c c}
1 & 2 & 3 & 8 \\
2 & 3 & 5 & 13
\end{array} \right)
\rightsquigarrow
\left( \begin{array}{c c | c c}
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \\
2 & 3 & 5 & 13
\end{array} \right)
\rightsquigarrow \\
\left( \begin{array}{c c | c c}
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \\
\frac{6-5}{3} & \frac{9-10}{3} & 0 & \frac{39-8 \cdot 5}{3}
\end{array} \right)
\rightsquigarrow
\left( \begin{array}{c c | c c}
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \\
\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}
\end{array} \right)
\rightsquigarrow \\
\left( \begin{array}{c c | c c}
\frac{9}{3} & -\frac{6}{3} & 1 & 0 \\
\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}
\end{array} \right)
\rightsquigarrow
\left( \begin{array}{c c | c c}
3 & -2 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 1
\end{array} \right)\)
Links steht die geordnete Basis B und rechts die geordnete Basis \(\bar B\), also (von | nach) und rechts wendet man Gauß an.
Nun noch die Kontrolle, ob es stimmen kann:
\(\underbrace{\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}_{A_{B \bar B}}
\cdot
\underbrace{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\Theta_{B}(v)} = \underbrace{\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\Theta_{\bar B}(v)}\)
Siehe auch
- Wikipedia: Basiswechsel (Vektorraum), Standardbasis
- Skript von Prof. Dr. Leuzinger, ab S. 82
