Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume

Eigenwerte sind Elemente des Körpers \(\mathbb{K}\) zu einem Endomorphismus \(\Phi:V \rightarrow V\), die folgende Eigenschaft erfüllen: \(\Phi(x) = \lambda x\) mit \(x \in V\) und \(x \neq 0\)

Alle Vektoren x sind Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.

Zusammen mit dem Null-Vektor bilden alle Eigenvektoren zu einem Eigenwert einer linearen Abbildung \(\Phi\) einen Eigenraum. Diesen Eigenraum bezeichnet man mit \(E_\lambda\).

Interessante Sätze

• $E_{\lambda_1} \cap E_{\lambda_2} = \emptyset$
• Ein Endomorphismus $\Phi$ eines n-dimensionalen $\mathbb{K}$-Vektorraumes hat höchstens n Eigenwerte.
• Eine lineare Abbildung $\Phi$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von V aus Eigenvektoren gibt.
• Wenn eine lineare Abbildung eines n-dimensionalen Vektorraums n verschiedene Eigenwerte hat, so ist sie diagonalisierbar.

Beispiele

Etwas einfaches

Sei \(\Phi:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) definiert durch \(\Phi(x) := x $. Dann ist $\lambda = 1\) der einzige Eigenwert. Der gesamte \(\mathbb{R}^3 \setminus

\) besteht ausschließlich aus Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Also ist der dazugehörige Eigenraum der gesamte \(\mathbb{R}^3\).

Noch immer leicht

Sei \(\Phi:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) definiert durch \(\Phi(x) := ax $ mit $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Dann ist \(\lambda = a\) der einzige Eigenwert. Der gesamte \(\mathbb{R}^3 \setminus

\) besteht ausschließlich aus Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Also ist der dazugehörige Eigenraum der gesamte \(\mathbb{R}^3\).

Etwas schwerer

Sei \(\Phi:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) definiert durch $\Phi(x) :=

x $.

Die Eigenwerte sind laut Wolfram|Alpha: \(\lambda_1 = \frac{3}{2} (5+\sqrt{33})\), Eigenvektor: \(v_1 =

\) \(\lambda_2 = \frac{3}{2} (5-\sqrt{33})\), Eigenvektor: \(v_2 =

\begin{pmatrix}-\frac{13}{11}+\frac{1}{22} (15+3 \sqrt{33}) \\ -\frac{1}{11}+\frac{1}{44} (15-3 \sqrt{33}) \\ 1\end{pmatrix}

\) \(\lambda_3 = 0\), Eigenvektor: \(v_3 =

\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}

\) - der Kern von \(\Phi\) (siehe Wolfram|Alpha)

Wozu das Ganze?

Mit Eigenwerten (bzw. Vektoren) kann man überprüfen, ob eine lineare Abbildung diagonalisierbar ist. Eine lineare Abbildung in Form einer Diagonalmatrix ist besonders leicht zu berechnen. Es ist also wünschenswert, die Abbildungsmatrix in Diagonalform zu bringen.

Kennt jemand noch weitere Gründe, warum Eigenwerte / Vektoren / Räume interessant sind?

Siehe auch

• Wikipedia: Eigenwertproblem
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. 7 Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, S. 202-207.
• Enrico Leuzinger: Skript zur Linearen Algebra I. S. 143-147.