Die partielle Integration bietet eine schöne Möglichkeit, Stammfunktionen von Integralen zu bestimmen. Dazu muss man folgende Regel können:
Seien $f, g$ stetig differenzierbare Funktionen.
$\displaystyle \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \left [f(x)\cdot g(x) \right ]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x$.
Beispiel ¶
Folgendes Beispiel aus Wikipedia zeigt, wie man das geschickt nutzen kann:
Aufgabe: Berechne $\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x$
Lösung: Es sei $f(x) = \cos(x)$ und $g'(x)= \sin(x)$. Es gilt: $f'(x) = - \sin(x)$ und $g(x)= - \cos(x)$.
Durch partielle Integration erhält man: $\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = -\cos^2(x) - \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x. $
Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral, ergibt sich: \begin{align} 2 \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x &= - \cos^2(x)\ \Leftrightarrow \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x &= -\tfrac12\cos^2(x) \end{align}