Die partielle Integration bietet eine schöne Möglichkeit, Stammfunktionen von Integralen zu bestimmen. Dazu muss man folgende Regel können:
Seien \(f, g\) stetig differenzierbare Funktionen.
\(\displaystyle \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \left [f(x)\cdot g(x) \right ]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x\).
Beispiel
Folgendes Beispiel aus Wikipedia zeigt, wie man das geschickt nutzen kann:
Aufgabe: Berechne \(\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x\)
Lösung: Es sei \(f(x) = \cos(x)\) und \(g'(x)= \sin(x)\). Es gilt: \(f'(x) = - \sin(x)\) und \(g(x)= - \cos(x)\).
Durch partielle Integration erhält man: $\int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x = -\cos^2(x) - \int \sin(x) \cdot \cos(x) \,\mathrm{d}x. $
Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral, ergibt sich: