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Warum ist Q abzählbar? This is a quick article I had for quite a while as a draft. It might not be finished or have other problems, but I still want to share it. Eine Menge B heißt abzählbar $: \Leftrightarrow \exists (a_n) \in B: B = \{a_1, a_2, a_3, ...\}$ $\Leftrightarrow \exists f : \mathbb{N} \rightarrow … Read More »

Wie wendet man den Transformationssatz an? Folgender Artikel basiert auf meinem Mitschrieb der Analysis III Übung bei Herrn Bolleyer. Sei $A \in \mathfrak{B}d$ mit $A^0 \neq \emptyset$ und $\lambda_d (A \setminus A^0) = 0$ sowie $\phi \in C^1(U, \mathbb{R}^d)$ mit $U \subseteq \mathbb{R}^d$ offen und $A \subseteq … Read More »

Wie zeige ich Differenzierbarkeit? Weil das Thema so wichtig ist und man es doch recht leicht vergisst: Sei $I \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion. $f$ heißt in $x_0 \in I$ differenzierbar $\displaystyle :\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ existiert und ist … Read More »

Integration durch Substitution Integration durch Substitution ist eine elementare Methode zum finden von Stammfunktionen von Integralen bzw. zum berechnen von Integralen. Unbestimmte Integrale Beispiel 1 $\int e^{2x} dx = ?$ Substituiere $u = 2x$ und $u'(x) = \frac{du}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{du}{2}$ Also: \begin{align} \int e^{2x} dx &\stackrel{sub … Read More »

Partielle Integration Die partielle Integration bietet eine schöne Möglichkeit, Stammfunktionen von Integralen zu bestimmen. Dazu muss man folgende Regel können: Seien $f, g$ stetig differenzierbare Funktionen. $\displaystyle \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \left [f(x)\cdot g(x) \right ]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot … Read More »

Konvergenz von Reihen Die folgenden Definitionen sind wortwörtlich aus dem inoffiziellem Skript für Analysis I bei Herrn Dr. Schmoeger übernommen worden. Dreiecksungleichung Ist $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ absolut konvergent, so ist $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergent und es gilt: $\left | \sum_{n=1}^{\infty}a_n \right | \leq \sum_{n=1}^{\infty … Read More »

Konvergenz von Folgen Sei $(a_n)$ eine Folge. $(a_n)$ heißt konvergent $:\Leftrightarrow \exists_{a \in \mathbb{R}} \forall_{ \varepsilon > 0} \exists_{n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}}: |a_n - a | < \varepsilon~~~\forall n \geq n_0$. In diesem Fall heißt a der Grenzwert von $(a_n)$ und man schreibt: $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n) = a$. Ist … Read More »