Begriffe und Bezeichnungen
Mengen
Es seien M und N Mengen.
$M \cup N$: Vereinigung - Die Elemente sind in M oder N $M \cap N$: Durchschnitt ("Schnittmenge") - Die Elemente sind in M und N $M \setminus N$: Differenzmenge - Die Elemente sind in M aber nicht in N $M \subseteq N$: Teilmenge - Alle Elemente in M sind auch in N $\emptyset$: Leere Menge $a \in M$: a ist ein Element von M $a \notin M$: a ist kein Element von M
Funktionen
Seien M, N Mengen mit $M \neq \emptyset \neq N$. $f: \underbrace{M}{\mathbb{D}} \to \underbrace{N}$}
Logische Zeichen
$\Rightarrow$: Implikation, z.B. $A \Rightarrow B$: Aus A folgt B
$\Leftrightarrow$: Äquivalenz. $A \Rightarrow B \wedge B \Rightarrow A$: Aus A folgt B und umgekehrt.
$\underbrace{: \Leftrightarrow}_\text{"genau dann"}$, z.B. $M \subseteq N : \Leftrightarrow \text{aus } x \in M \text{ folgt stets } x \in N$.
$\forall$: Allquantor, sprich "für alle" oder "für jedes"
$\exists$: Existenzquantor, sprich "es gibt mindestens ein" oder "es existiert"
Reele Zahlen
Die Grundmenge der Analysis ist die Menge $\mathbb{R}$, die Menge der reelen Zahlen. Diese führen wir durch die folgenden 15 Axiome ein.
Körperaxiome
In $\mathbb{R}$ seien zwei Verknüpfungen "+" und "·" gegeben. Sie ordnen jedem Paar $a, b \in \mathbb{R}$ genau ein $ab := a \cdot b \in \mathbb{R}$ zu. Dabei soll gelten:
$$\left. \begin{array}{lllll} A.1 & a+ (b+c) & = & (a+b)+c & \forall a, b, c \in \mathbb{R} \ A.2 & a \cdot (bc) & = & (ab) \cdot c & \forall a, b, c \in \mathbb{R} \ \end{array} \right } \text{Assoziativgesetze}$$
$$\left. \begin{array}{lllll} A.3 & a + b & = & b + a & \forall a, b \in \mathbb{R} \ A.4 & a \cdot b & = & b) \cdot a & \forall a, b \in \mathbb{R} \ \end{array} \right } \text{Kommutativgesetze}$$
$$\left. \begin{array}{lllll} A.5 & \exists 0 \in \mathbb{R} & : & a + 0 = a & \forall a \in \mathbb{R} \text{ ("Null")} \ A.6 & \exists 1 \in \mathbb{R} & : & a \cdot 1 = a \wedge 1 \neq 0 & \forall a \in \mathbb{R} \text{ ("Eins")} \ \end{array} \right } \text{Neutrales Element}$$
$$\left. \begin{array}{lllll} A.7 & \forall a \in \mathbb{R} \exists -a \in \mathbb{R} & : & a + (-a) = 0 \ A.8 & \forall a \in \mathbb{R} \setminus {0} \exists -a^{-1} \in \mathbb{R} & : & a \cdot a^{-1} = 1 \end{array} \right } \text{Inverses Element}$$
$$\text{A.9 } a(b+c) = ab+ac \forall a, b, c \in \mathbb{R}$: Distributivgesetz$
Schreibweisen: für $a, b \in \mathbb{R}: a -b := a + (-b)$ für $b \neq 0: \frac{a}{b} := a \cdot b^{-1}$
Alle Rechenregeln bzgl der Grundrechenarten lassen sich aus A.1 - A.9 herleiten. Diese Regeln seien von nun an bekannt.
Behauptung: Es existiert genau ein $0 \in \mathbb{R}: a+0 = a \forall a \in \mathbb{R}$ Beweis: Existenz: folgt aus A.5 Eindeutigkeit: Sei $\tilde 0 \in \mathbb{R} \text{ mit }a+\tilde 0 a \forall a \in \mathbb{R}$ Mit $a = 0: 0 = 0 + \tilde 0 \underbrace{=}{\text{A.3}} \tilde 0 + 0 \underbrace{=} = \tilde 0$}
Behauptung: Ist $a \in \mathbb{R}\text{, so ist }a \cdot 0 = 0$ Beweis: $ b := a \cdot 0 \underbrace{\Rightarrow}_\text{A.5} b = a (0 + 0) \Rightarrow a \cdot 0 + a \cdot 0 = b + b$ $0 = b + (-b) = (b+b) + (-b) = b + (b + (-b)) = b + 0 = b$
Anordnungsaxiome
In $\mathbb{R}$ sei eine Relation "$\leq$" gegeben. Dabei soll gelten:
$$ \begin{array}{lll} A.10 & a \leq b \lor b \leq a & \forall a, b \in \mathbb{R} \ A.11 & a \leq b \land b \leq a & \rightarrow a = b \ A.12 & a \leq b \land b \leq c & \rightarrow a \leq c \ A.13 & a \leq b \rightarrow a + c \leq b + c & \forall c \in \mathbb{R} \ A.14 & a \leq b \land 0 \leq c \Rightarrow a \leq c \end{array} $$
Schreibweise: $a \geq b: \Leftrightarrow b \geq a$ $a \lt b: \Leftrightarrow a \leq b \land a \neq b$ $a \gt b: \Leftrightarrow b \lt a$
Alle Regeln für Ungleichungen lassen sich aus A.1 - A.14 herleiten. Diese Regeln seien nun bekannt.
Definition: Für $a \in \mathbb{R}$ sei $$|a| : = \left { \begin{array}{ll} a & \text{, falls } a \geq 0 \ -a & \text{, falls } a \lt 0 \end{array} \right.$$
Anschaulich: Der Betrag misst den absoluten Abstand zur 0 auf dem Zahlenstrahl.
$|a-b| \mathrel{\widehat{=}} \text{Abstand von a und b}$
Satz: Seien $a, b \in \mathbb{R}$. Dann:
- $|a| \geq 0$
- $|ab| = |a| \cdot |b|$
- $\pm a \leq |a|$
- $|a+b| \leq |a| + |b|$: Dreiecksungleichung
- $| |a| - |b| | \leq | a-b|$
Beweis: 1, 2, 3 leichte Übung
Beweis von 4.:
Fall 1: $a+b \geq 0$. Dann $|a+b| = a + b \leq |a| + |b|$
Fall 2: $a+b \lt 0$. Dann $|a+b| = -(a+b) = (-a) + (-b) \leq |a| + |b|$
Beweis von 5.:
$c := |a| - |b|$. Es ist $|a| = |a - b + b| \leq |a - b | + |b| \Rightarrow |a| - |b| \leq |a - b|$, also $c \leq |a - b|$
Analog: $ -c = |b| - |a| \leq |b-a| = |a - b|$. Es ist $| |a| - |b| | = c \text{ oder } = -c$.
Intervalle
Seien $a, b \in \mathbb{R} \land a \lt b$.
$(a,b) := {x \in \mathbb{R} a \lt x \lt b}$: offenes Intervall
$[a,b] := {x \in \mathbb{R} a \leq x \leq b}$: geschlossenes Intervall
$(a,b] := {x \in \mathbb{R} a \lt x \leq b}$: halboffenes Intervall
$[a,\infty) := {x \in \mathbb{R} a \leq x }$.
$(a,\infty) := {x \in \mathbb{R} a \lt x }$.
$(-\infty,a]:= {x \in \mathbb{R} x \leq a }$.
$(-\infty,\infty):= \mathbb{R}$.
$[a,a]:= {a}$: entartetes Intervall