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Analysis I - Teil 1

Contents

  • Analysis I - Teil 1
    • Begriffe und Bezeichnungen
      • Mengen
      • Funktionen
      • Logische Zeichen
    • Reele Zahlen
      • Körperaxiome
      • Anordnungsaxiome
      • Intervalle

Begriffe und Bezeichnungen

Mengen

Es seien M und N Mengen.

\(M \cup N\): Vereinigung - Die Elemente sind in M oder N \(M \cap N\): Durchschnitt ("Schnittmenge") - Die Elemente sind in M und N \(M \setminus N\): Differenzmenge - Die Elemente sind in M aber nicht in N \(M \subseteq N\): Teilmenge - Alle Elemente in M sind auch in N \(\emptyset\): Leere Menge \(a \in M\): a ist ein Element von M \(a \notin M\): a ist kein Element von M

Funktionen

Seien M, N Mengen mit \(M \neq \emptyset \neq N\). \(f: \underbrace{M}_{\mathbb{D}} \to \underbrace{N}_{\mathbb{W}}\)

Logische Zeichen

\(\Rightarrow\): Implikation, z.B. \(A \Rightarrow B\): Aus A folgt B
\(\Leftrightarrow\): Äquivalenz. \(A \Rightarrow B \wedge B \Rightarrow A\): Aus A folgt B und umgekehrt.
\(\underbrace{: \Leftrightarrow}_\text{"genau dann"}\), z.B. \(M \subseteq N : \Leftrightarrow \text{aus } x \in M \text{ folgt stets } x \in N\).
\(\forall\): Allquantor, sprich "für alle" oder "für jedes"
\(\exists\): Existenzquantor, sprich "es gibt mindestens ein" oder "es existiert"

Reele Zahlen

Die Grundmenge der Analysis ist die Menge \(\mathbb{R}\), die Menge der reelen Zahlen. Diese führen wir durch die folgenden 15 Axiome ein.

Körperaxiome

In \(\mathbb{R}\) seien zwei Verknüpfungen "+" und "·" gegeben. Sie ordnen jedem Paar \(a, b \in \mathbb{R}\) genau ein \(ab := a \cdot b \in \mathbb{R}\) zu. Dabei soll gelten:

$$\left. \begin{array}{lllll} A.1 & a+ (b+c) & = & (a+b)+c & \forall a, b, c \in \mathbb{R} \\ A.2 & a \cdot (bc) & = & (ab) \cdot c & \forall a, b, c \in \mathbb{R} \\ \end{array} \right \} \text{Assoziativgesetze}$$
$$\left. \begin{array}{lllll} A.3 & a + b & = & b + a & \forall a, b \in \mathbb{R} \\ A.4 & a \cdot b & = & b) \cdot a & \forall a, b \in \mathbb{R} \\ \end{array} \right \} \text{Kommutativgesetze}$$
$$\left. \begin{array}{lllll} A.5 & \exists 0 \in \mathbb{R} & : & a + 0 = a & \forall a \in \mathbb{R} \text{ ("Null")} \\ A.6 & \exists 1 \in \mathbb{R} & : & a \cdot 1 = a \wedge 1 \neq 0 & \forall a \in \mathbb{R} \text{ ("Eins")} \\ \end{array} \right \} \text{Neutrales Element}$$
$$\left. \begin{array}{lllll} A.7 & \forall a \in \mathbb{R} \exists -a \in \mathbb{R} & : & a + (-a) = 0 \\ A.8 & \forall a \in \mathbb{R} \setminus {0} \exists -a^{-1} \in \mathbb{R} & : & a \cdot a^{-1} = 1 \end{array} \right \} \text{Inverses Element}$$

\($\text{A.9 } a(b+c) = ab+ac \forall a, b, c \in \mathbb{R}\): Distributivgesetz$

Schreibweisen: für \(a, b \in \mathbb{R}: a -b := a + (-b)\) für \(b \neq 0: \frac{a}{b} := a \cdot b^{-1}\)

Alle Rechenregeln bzgl der Grundrechenarten lassen sich aus A.1 - A.9 herleiten. Diese Regeln seien von nun an bekannt.

Behauptung: Es existiert genau ein \(0 \in \mathbb{R}: a+0 = a \forall a \in \mathbb{R}\) Beweis: Existenz: folgt aus A.5 Eindeutigkeit: Sei \(\tilde 0 \in \mathbb{R} \text{ mit }a+\tilde 0 a \forall a \in \mathbb{R}\) Mit \(a = 0: 0 = 0 + \tilde 0 \underbrace{=}_{\text{A.3}} \tilde 0 + 0 \underbrace{=}_{\text{A.5}} = \tilde 0\)

Behauptung: Ist \(a \in \mathbb{R}\text{, so ist }a \cdot 0 = 0\) Beweis: \( b := a \cdot 0 \underbrace{\Rightarrow}_\text{A.5} b = a (0 + 0) \Rightarrow a \cdot 0 + a \cdot 0 = b + b\) \(0 = b + (-b) = (b+b) + (-b) = b + (b + (-b)) = b + 0 = b\)

Anordnungsaxiome

In \(\mathbb{R}\) sei eine Relation "\(\leq\)" gegeben. Dabei soll gelten:

$$ \begin{array}{lll} A.10 & a \leq b \lor b \leq a & \forall a, b \in \mathbb{R} \\ A.11 & a \leq b \land b \leq a & \rightarrow a = b \\ A.12 & a \leq b \land b \leq c & \rightarrow a \leq c \\ A.13 & a \leq b \rightarrow a + c \leq b + c & \forall c \in \mathbb{R} \\ A.14 & a \leq b \land 0 \leq c \Rightarrow a \leq c \end{array} $$

Schreibweise: \(a \geq b: \Leftrightarrow b \geq a\) \(a \lt b: \Leftrightarrow a \leq b \land a \neq b\) \(a \gt b: \Leftrightarrow b \lt a\)

Alle Regeln für Ungleichungen lassen sich aus A.1 - A.14 herleiten. Diese Regeln seien nun bekannt.

Definition: Für \(a \in \mathbb{R}\) sei

$$|a| : = \left \{ \begin{array}{ll} a & \text{, falls } a \geq 0 \\ -a & \text{, falls } a \lt 0 \end{array} \right.$$

Anschaulich: Der Betrag misst den absoluten Abstand zur 0 auf dem Zahlenstrahl.

\(|a-b| \mathrel{\widehat{=}} \text{Abstand von a und b}\)

Satz: Seien \(a, b \in \mathbb{R}\). Dann:

  • $|a| \geq 0$
  • $|ab| = |a| \cdot |b|$
  • $\pm a \leq |a|$
  • $|a+b| \leq |a| + |b|$: Dreiecksungleichung
  • $| |a| - |b| | \leq | a-b|$

Beweis: 1, 2, 3 leichte Übung
Beweis von 4.:
Fall 1: \(a+b \geq 0\). Dann \(|a+b| = a + b \leq |a| + |b|\) Fall 2: \(a+b \lt 0\). Dann \(|a+b| = -(a+b) = (-a) + (-b) \leq |a| + |b|\)
Beweis von 5.:
\(c := |a| - |b|\). Es ist \(|a| = |a - b + b| \leq |a - b | + |b| \Rightarrow |a| - |b| \leq |a - b|\), also \(c \leq |a - b|\)

Analog: \( -c = |b| - |a| \leq |b-a| = |a - b|\). Es ist \(| |a| - |b| | = c \text{ oder } = -c\).

Intervalle

Seien \(a, b \in \mathbb{R} \land a \lt b\).

\((a,b) := \{x \in \mathbb{R} a \lt x \lt b\}\): offenes Intervall
\([a,b] := \{x \in \mathbb{R} a \leq x \leq b\}\): geschlossenes Intervall
\((a,b] := \{x \in \mathbb{R} a \lt x \leq b\}\): halboffenes Intervall
\([a,\infty) := \{x \in \mathbb{R} a \leq x \}\).
\((a,\infty) := \{x \in \mathbb{R} a \lt x \}\).
\((-\infty,a]:= \{x \in \mathbb{R} x \leq a \}\).
\((-\infty,\infty):= \mathbb{R}\).
\([a,a]:= \{a\}\): entartetes Intervall


Published

Okt 18, 2011
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • lecture-notes 11
  • mathematics 59

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