Begriffe und Bezeichnungen
Mengen
Es seien M und N Mengen.
\(M \cup N\): Vereinigung - Die Elemente sind in M oder N \(M \cap N\): Durchschnitt ("Schnittmenge") - Die Elemente sind in M und N \(M \setminus N\): Differenzmenge - Die Elemente sind in M aber nicht in N \(M \subseteq N\): Teilmenge - Alle Elemente in M sind auch in N \(\emptyset\): Leere Menge \(a \in M\): a ist ein Element von M \(a \notin M\): a ist kein Element von M
Funktionen
Seien M, N Mengen mit \(M \neq \emptyset \neq N\). \(f: \underbrace{M}_{\mathbb{D}} \to \underbrace{N}_{\mathbb{W}}\)
Logische Zeichen
\(\Rightarrow\): Implikation, z.B. \(A \Rightarrow B\): Aus A folgt B \(\Leftrightarrow\): Äquivalenz. \(A \Rightarrow B \wedge B \Rightarrow A\): Aus A folgt B und umgekehrt. \(\underbrace{: \Leftrightarrow}_\text{"genau dann"}\), z.B. \(M \subseteq N : \Leftrightarrow \text{aus } x \in M \text{ folgt stets } x \in N\). \(\forall\): Allquantor, sprich "für alle" oder "für jedes" \(\exists\): Existenzquantor, sprich "es gibt mindestens ein" oder "es existiert"
Reele Zahlen
Die Grundmenge der Analysis ist die Menge \(\mathbb{R}\), die Menge der reelen Zahlen. Diese führen wir durch die folgenden 15 Axiome ein.
Körperaxiome
In \(\mathbb{R}\) seien zwei Verknüpfungen "+" und "·" gegeben. Sie ordnen jedem Paar \(a, b \in \mathbb{R}\) genau ein \(ab := a \cdot b \in \mathbb{R}\) zu. Dabei soll gelten:
\(\left.
\(\left.
\(\left.
\(\left.
\(\text{A.9 } a(b+c) = ab+ac \forall a, b, c \in \mathbb{R}\): Distributivgesetz
Schreibweisen: für \(a, b \in \mathbb{R}: a -b := a + (-b)\) für \(b \neq 0: \frac{a}{b} := a \cdot b^{-1}\)
Alle Rechenregeln bzgl der Grundrechenarten lassen sich aus A.1 - A.9 herleiten. Diese Regeln seien von nun an bekannt.
Behauptung: Es existiert genau ein \(0 \in \mathbb{R}: a+0 = a \forall a \in \mathbb{R}\) Beweis: Existenz: folgt aus A.5 Eindeutigkeit: Sei \(\tilde 0 \in \mathbb{R} \text{ mit }a+\tilde 0 a \forall a \in \mathbb{R}\) Mit \(a = 0: 0 = 0 + \tilde 0 \underbrace{=}_{\text{A.3}} \tilde 0 + 0 \underbrace{=}_{\text{A.5}} = \tilde 0\)
Behauptung: Ist \(a \in \mathbb{R}\text{, so ist }a \cdot 0 = 0\) Beweis: \( b := a \cdot 0 \underbrace{\Rightarrow}_\text{A.5} b = a (0 + 0) \Rightarrow a \cdot 0 + a \cdot 0 = b + b\) \(0 = b + (-b) = (b+b) + (-b) = b + (b + (-b)) = b + 0 = b\)
Anordnungsaxiome
In \(\mathbb{R}\) sei eine Relation "\(\leq\)" gegeben. Dabei soll gelten:
$
$
Schreibweise: \(a \geq b: \Leftrightarrow b \geq a\) \(a \lt b: \Leftrightarrow a \leq b \land a \neq b\) \(a \gt b: \Leftrightarrow b \lt a\)
Alle Regeln für Ungleichungen lassen sich aus A.1 - A.14 herleiten. Diese Regeln seien nun bekannt.
Definition: Für \(a \in \mathbb{R}\) sei
\(|a| : =
\left \{
Anschaulich: Der Betrag misst den absoluten Abstand zur 0 auf dem Zahlenstrahl.
\(|a-b| \mathrel{\widehat{=}} \text{Abstand von a und b}\)
Satz: Seien \(a, b \in \mathbb{R}\). Dann:
- \(|a| \geq 0\)
- \(|ab| = |a| \cdot |b|\)
- \(\pm a \leq |a|\)
- \(|a+b| \leq |a| + |b|\): Dreiecksungleichung
- \(| |a| - |b| | \leq | a-b|\)
Beweis: 1, 2, 3 leichte Übung Beweis von 4.: Fall 1: \(a+b \geq 0\). Dann \(|a+b| = a + b \leq |a| + |b|\) Fall 2: \(a+b \lt 0\). Dann \(|a+b| = -(a+b) = (-a) + (-b) \leq |a| + |b|\) Beweis von 5.: \(c := |a| - |b|\). Es ist \(|a| = |a - b + b| \leq |a - b | + |b| \Rightarrow |a| - |b| \leq |a - b|\), also \(c \leq |a - b|\)
Analog: \( -c = |b| - |a| \leq |b-a| = |a - b|\). Es ist \(| |a| - |b| | = c \text{ oder } = -c\).
Intervalle
Seien \(a, b \in \mathbb{R} \land a \lt b\).
\((a,b) := \{x \in \mathbb{R} a \lt x \lt b\}\): offenes Intervall \([a,b] := \{x \in \mathbb{R} a \leq x \leq b\}\): geschlossenes Intervall \((a,b] := \{x \in \mathbb{R} a \lt x \leq b\}\): halboffenes Intervall \([a,\infty) := \{x \in \mathbb{R} a \leq x \}\). \((a,\infty) := \{x \in \mathbb{R} a \lt x \}\). \((-\infty,a]:= \{x \in \mathbb{R} x \leq a \}\). \((-\infty,\infty):= \mathbb{R}\). \([a,a]:= \{a\}\): entartetes Intervall