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Berechnung der euklidischen Normalform

Contents

  • Bestimmung der Normalform
  • Bestimmung der Transformationsmatrix
    • Eigenräume bestimmen
    • ONB bestimmen
  • Quellen

Die euklidische Normalform einer linearen Isometrie, manchmal auch lineare Normalform gennant, hat folgende Gestalt:

Euklidische Normalform
Euklidische Normalform

Bei einer $n \times n$-Matrix gilt also folgende Gleichung: $n = p + q + 2r$

Bestimmung der Normalform

Sei $\Phi$ eine lineare Isometrie eines euklidischen Vektorraumes. Dann habe $\Phi$ die Abbildungsmatrix $A$. Sei $B := A + A^T$. Wenn man die euklidische Normalform bilden will, bestimmt man zuerst das charakteristische Polynom von $B$. Die Nullstellen davon sind die Eigenwerte. Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 2 von $B$ (die Potenz im charakteristischen Polynom) gibt die Anzahl der 1er an, genauso gibt die Vielfachheit des Eigenwertes -2 die Anzahl der -1er an.

Die restlichen Eigenwerte $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ geben die Drehkästchen an.

Es gilt: $\cos \omega = \frac{\lambda}{2}$ $\sin \omega = \sqrt{1 - \frac{\lambda^2}{4}}$

Mit diesen Angaben kann man direkt die euklidische Normalform angeben.

Bestimmung der Transformationsmatrix

Eigenräume bestimmen

Die Eigenräume berechnet man wie gewohnt:

$\text{Eig}(\lambda_i) = \text{Kern}(B- \lambda_i \cdot E)$

ONB bestimmen

Nun wählt man für jeden Eigenraum eine Basis Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Das kann man mit dem Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren machen, also: Wähle ein beliebiges $w_1 \in \text{Eig}(\lambda_i)$.

$$w_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1} \frac{\langle v_j, w_i \rangle}{\langle w_i, w_i \rangle} \cdot w_i$$

Quellen

  • Skript von Prof. Dr. Leuzinger, S. 228 ff.
  • Klausur „Lineare Algebra und analytische Geometrie“ vom Frühjahr 2007, Aufgabe II.4

Published

Sep 10, 2012
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • Linear algebra 18
  • Matrix 8
  • normal form 2

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