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Berechnung der euklidischen Normalform

Contents

  • Berechnung der euklidischen Normalform
    • Bestimmung der Normalform
    • Bestimmung der Transformationsmatrix
      • Eigenräume bestimmen
      • ONB bestimmen
    • Quellen

Die euklidische Normalform einer linearen Isometrie, manchmal auch lineare Normalform gennant, hat folgende Gestalt:

Euklidische Normalform
Euklidische Normalform

Bei einer \(n \times n\)-Matrix gilt also folgende Gleichung: \(n = p + q + 2r\)

Bestimmung der Normalform

Sei \(\Phi\) eine lineare Isometrie eines euklidischen Vektorraumes. Dann habe \(\Phi\) die Abbildungsmatrix \(A\). Sei \(B := A + A^T\). Wenn man die euklidische Normalform bilden will, bestimmt man zuerst das charakteristische Polynom von \(B\). Die Nullstellen davon sind die Eigenwerte. Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 2 von \(B\) (die Potenz im charakteristischen Polynom) gibt die Anzahl der 1er an, genauso gibt die Vielfachheit des Eigenwertes -2 die Anzahl der -1er an.

Die restlichen Eigenwerte \(\lambda_1, \dots, \lambda_r\) geben die Drehkästchen an.

Es gilt: \(\cos \omega = \frac{\lambda}{2}\) \(\sin \omega = \sqrt{1 - \frac{\lambda^2}{4}}\)

Mit diesen Angaben kann man direkt die euklidische Normalform angeben.

Bestimmung der Transformationsmatrix

Eigenräume bestimmen

Die Eigenräume berechnet man wie gewohnt:

\(\text{Eig}(\lambda_i) = \text{Kern}(B- \lambda_i \cdot E)\)

ONB bestimmen

Nun wählt man für jeden Eigenraum eine Basis Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Das kann man mit dem Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren machen, also: Wähle ein beliebiges \(w_1 \in \text{Eig}(\lambda_i)\).

$$w_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1} \frac{\langle v_j, w_i \rangle}{\langle w_i, w_i \rangle} \cdot w_i$$

Quellen

  • Skript von Prof. Dr. Leuzinger, S. 228 ff.
  • Klausur „Lineare Algebra und analytische Geometrie“ vom Frühjahr 2007, Aufgabe II.4

Published

Sep 10, 2012
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • Linear algebra 18
  • Matrix 8
  • normal form 2

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