Eigenschaften von Abbildungsmatrizen

Eine Abbildungsmatrix beschreibt eine lineare Abbildungs zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen. Sie ist abhängig von der Basis des Urraums und des Zielraumes.

Formale Definition

Eine Lineare Abbildung $\Phi$ muss folgende Eigenschaften erfüllen:
  • $\Phi: V \rightarrow W$ ist eine Abbildung
  • $\forall x, y \in W : \Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y)$
  • $\forall x \in W : \forall a \in \mathbb{K}: \Phi(a \cdot x) = a \cdot \Phi(x)$

Sei V ein n-dimensionaler \(\mathbb{K}\)-Vektorraum mit der Basis \(B = \{b_1, b_2, ..., b_n\}\) und W ein m-dimensonaler \(\mathbb{K}\)-Vektorraum mit der Basis \(C = \{c_1, c_2, ..., c_m\}\).

Sei $\Phi:V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Dann ordnen wir der linearen Abbildung $\Phi$ in folgender Weise eine Matrix A zu: $\Phi (b_k) = \sum_{i=1}^{m} a_{ik}c_i, ~~ k = 1, ..., n, ~~ a_{ik}\in \mathbb{K}$ Dann gilt: $\Phi(x) = A \cdot x ~~~\text{ mit } x \in V$ Diese Matrix A nennt man Abbildungsmatrix.

Beispiele

Sei \(\Phi: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3\).

Nullzeile

$$A_1 = \left . \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 3 & 4 \\5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}}_\text{dim V} \right \} \text{dim W}$$

Standardbasis

Sei

$$B_S = (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})$$

und

$$C_S = (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})$$

Also sind B und C die geordnete Standardbasis des \(\mathbb{R}^4\) bzw. des \(\mathbb{R}^3\).

Was macht nun eine Abbildung \(\Phi\) mit der Matrix \(A_1\)?

Ich denke ist ist leicht ersichtlich, dass bei einer Abbildungsmatrix dieser Form die erste Komponente des Bildvektors immer 0 ist.

$$\Phi_1(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 30 \\ 70 \end{pmatrix}$$

(siehe Wolfram|Alpha)

$$\Phi_1(\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 18 \\ 54 \end{pmatrix}$$

(siehe Wolfram|Alpha)

Andere Basis

Sei

$$B_1 = (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix})$$

und

$$C_1 = (\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix})$$

Auch hier schauen wir uns wieder die Abbildung \(\Phi\) mit der Abbildungsmatrix \(A_1\) an.

$$\Phi_1(\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}}_\text{in Basis C}) = A_1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 30 \\ 70 \end{pmatrix}}_\text{in Basis B}$$

Auch hier ist also die erste Komponente jedes Bildvektors 0. Allerdings haben die Bildvektoren nun eine andere Basis. Sie werden sozusagen anders interpretiert.

Nullspalte

$$A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\0 & 4 & 5 & 6 \\0 & 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Nun mal wieder zwei Beispiel-Abbildungen:

$$\Phi_2(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 20 \\ 47 \\ 74 \end{pmatrix}$$

(siehe Wolfram|Alpha)

$$\Phi_2(\begin{pmatrix} 100 \\ 2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 20 \\ 47 \\ 74 \end{pmatrix}$$

(siehe Wolfram|Alpha)

Wenn die Abbildungsmatrix eine Nullspalte hat, ist es egal was der abzubildende Vektor als Eintrag an dieser Stelle hat.

Basiswechsel bei Abbildungen

Ich habe ja gerade veranschaulicht, dass bei einem Basiswechsel zwar die Abbildung gleich bleibt, es aber dennoch unterschiedliche Vektoren sind. Sie müssen halt unterschiedlich interpretiert werden.

Nun könnte man die Abbildung, also insbesondere die Matrix, so ändern, dass die Vektoren, die man als "gleich" interpretieren würde, gleich abgebildet werden.

Wir suchen also eine neue Abbildungsmatrix \(A_1'\), die die gleiche Abbildung beschreibt wie \(A_1\) mit den Standardbasen, nur von \(B_1\) nach \(C_1\).

Wenn man das machen will, kann man sich den Vorgang wie eine Ansammlung von Funktionen (im Sinne der Informatik) betrachten. Wir haben eine Funktion, die die Abbildung von der Standardbasis in die Standardbasis beschreibt. Als Input bekommen wir einen Vektor in der Basis \(B_1\) und herauskommen soll ein Vektor in der Basis \(C_1\). Wir müssen also den Input-Vektor von der Basis \(B_1\) in die Standardbasis umwandeln und den Output-Vektor der gegebenen Funktion von der Standardbasis in die Basis \(C_1\) konvertieren.

Dazu bestimmen wir zuerst die Basiswechselmatrix \(T_S^{B1}\) von der Basis \(B_1\) in die Standardbasis. Das ist genau die Basis selbst:

$$T_{B1}^S = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 7 \\ 3 & 3 & 4 & 1 \\ 4 & 7 & 1 & 8 \end{pmatrix}$$

(siehe alten Blogpost)

Und die Basiswechselmatrix \(T_S^{C1}\) von der Standardbasis in die Basis \(C_1\). Das ist das Inverse der Basis \(C_1\):

$$ T_S^{C1} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -6 & -2 & 4 \\ -2 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & -1 \end{pmatrix} $$

Insgesamt sieht das dann so aus: \(T_S^{C1} \cdot (A_1 \cdot (T_{B1} \cdot x))\). Da für die Matrixmultiplikation das Assoziativgesetz gilt, kann man das vereinfachen:

$$ A_1′ = T_S^{C1} \cdot A_1 \cdot T_{B1}^S = \begin{pmatrix} 110 & 156 & 93 & 195 \\ 10 & 16 & 3 & 15 \\ -50 & -72 & -39 & -87 \end{pmatrix} $$

(siehe Wolfram|Alpha)

Ein Test ob es stimmen kann: z.B. sind

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}_S = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_{B_1}$$

und

$$\begin{pmatrix} 0 \\ 30 \\ 70 \end{pmatrix}_S = 110 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} -50 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 110 \\ 10 \\ -50 \end{pmatrix}_{C_1}$$
$$\begin{pmatrix} 110 & 156 & 93 & 195 \\ 10 & 16 & 3 & 15 \\ -50 & -72 & -39 & -87 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_{B_1} = \begin{pmatrix} 110 \\ 10 \\ -50 \end{pmatrix}$$

(siehe Wolfram|Alpha)

Ich habe keine Ahnung, wie man nur mit den Basen B und C und der Abbildungsmatrix \(A_1'\) wieder auf die Abbildungsmatrix \(A_1\) kommt. Ich habe auf Stackexchange mal nachgefragt, aber das ist nicht von Erfolg gekrönt gewesen.

Anzahl der Abbildungsmatrizen

Für jede lineare Abbildungen \(\Phi: V \rightarrow W\) (wobei V und W endliche Vektorräume sind) gibt es eine Abbildungsmatrix.

Wie sieht dann die Abbildungsmatrix folgender Abbildung aus?

Sei $V:= \{p \in \mathbb{R}[t] | deg(t) \leq 5 \}$ der Vektorraum aller Polynome in t mit reellen Koeffizienten und Grad $ \leq 5$. Sei $F: V \rightarrow V$ die Shift-Abbildung $(Fp)(t) = p(t+1)$

(Quelle: Matheraum.de)

Wenn V allerdings der \(\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}\) und W der \(\mathbb{Z}/ 3 \mathbb{Z}\) über jeweils den Körper \(\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}\) sind, dann ist die Abbildungsmatrix eine 1x1 Matrix. Das eine Element dieser 1x1 Matrix kann zwei verschiedene Werte - 0 und 1 - annehmen. Selbst wenn W der \(\mathbb{Z}/ 41 \mathbb{Z}\) wäre, würde es nur zwei verschiedene Abbildungen geben.

Wenn V der \(\mathbb{Z}/ 3 \mathbb{Z}\) und W der \(\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}\) ist, dann gibt es nur eine lineare Abbildung \(\Phi: V \rightarrow W\)(die Nullabbildung). Die Abbildungsmatrix \((1)\) bezeichnet keine lineare Abbildung \(\Phi\), da 2 in V ist, aber nicht in W.

Es scheint also so zu sein, dass man im Allgemeinen nichts über die Anzahl der linearen Abbildungen sagen kann.

Dies und das

Zwei lineare Abbildungen können hintereinander ausgeführt werden, indem ihre Matrizen multipliziert werden: \(\Phi_1 : V \rightarrow W, \Phi_1(x) := A_1 \cdot x\) \(\Phi_2 : W \rightarrow X, \Phi_2(x) := A_2 \cdot x\) \(\Phi_2 \circ \Phi_1 : V \rightarrow X, x \mapsto \Phi_2 \circ \Phi_1(x) := \Phi_2(\Phi_1(x)) = A_2 \cdot (A_1 \cdot x) = (A_2 \cdot A_1) \cdot x\)

Der Rang der Abbildungsmatrix entspricht der Dimension des Bildes der Abbildung.

Siehe auch

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