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Wie bestimme ich die Basiswechselmatrix?

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Eine Basiswechselmatrix oder auch Übergangsmatrix dient dem Basiswechsel.

Angenommen man hat zwei Basen des \(\mathbb{R}^2\)-Vektorraumes:

$$B = \{\overbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}^{b_1}, \overbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}}^{b_2} \}$$

und

$$\bar B = \{\underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}}_{\bar b_1}, \underbrace{\begin{pmatrix} 8 \\ 13 \end{pmatrix}}_{\bar b_2} \}$$

Sei nun

$$v := \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

ein Vektor zur Standardbasis. Da \(B\) und \(\bar B\) auch Basen des \(\mathbb{R}^2\) sind, kann man v auch zu diesen Basen darstellen:

$$\Theta_{B}(v) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

und

$$\Theta_{\bar B}(v) = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Wie kann man nun diese neue Darstellung berechnen? Nun, wir bestimmen eine Matrix A für die gilt: \(A \cdot \Theta_B(v) = \Theta_{\bar B}(v) ~~~ \forall v \in \mathbb{R}^2\). Diese Matrix findet man, indem man beide geordneten Basen nebeneinander schreibt und die rechte Seite "durchgaußt":

$$\left( \begin{array}{c c | c c} 1 & 2 & 3 & 8 \\ 2 & 3 & 5 & 13 \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \\ 2 & 3 & 5 & 13 \end{array} \right) \rightsquigarrow \\ \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{6-5}{3} & \frac{9-10}{3} & 0 & \frac{39-8 \cdot 5}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \\ \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{9}{3} & -\frac{6}{3} & 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} 3 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Links steht die geordnete Basis B und rechts die geordnete Basis \(\bar B\), also (von | nach) und rechts wendet man Gauß an.

Nun noch die Kontrolle, ob es stimmen kann:

$$\underbrace{\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}_{A_{B \bar B}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\Theta_{B}(v)} = \underbrace{\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\Theta_{\bar B}(v)}$$

Siehe auch

  • Wikipedia: Basiswechsel (Vektorraum), Standardbasis
  • Skript von Prof. Dr. Leuzinger, ab S. 82

Published

Mär 16, 2012
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • Linear algebra 18
  • mathematics 59
  • Matrix 8

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