Wie bestimme ich die Basiswechselmatrix?

Eine Basiswechselmatrix oder auch Übergangsmatrix dient dem Basiswechsel.

Angenommen man hat zwei Basen des $\mathbb{R}^2$-Vektorraumes:

$$B = \{\overbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}}^{b_1}, \overbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}}^{b_2} \}$$

und

$$\bar B = \{\underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}}_{\bar b_1}, \underbrace{\begin{pmatrix} 8 \\ 13 \end{pmatrix}}_{\bar b_2} \}$$

Sei nun $$v := \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$$ ein Vektor zur Standardbasis. Da $B$ und $\bar B$ auch Basen des $\mathbb{R}^2$ sind, kann man v auch zu diesen Basen darstellen:

$$\Theta_{B}(v) = \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}$$ und $$\Theta_{\bar B}(v) = \begin{pmatrix} -5 \ 2 \end{pmatrix}$$

Wie kann man nun diese neue Darstellung berechnen? Nun, wir bestimmen eine Matrix A für die gilt: $A \cdot \Theta_B(v) = \Theta_{\bar B}(v) ~~~ \forall v \in \mathbb{R}^2$. Diese Matrix findet man, indem man beide geordneten Basen nebeneinander schreibt und die rechte Seite "durchgaußt":

$$\left( \begin{array}{c c | c c} 1 & 2 & 3 & 8 \ 2 & 3 & 5 & 13 \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \ 2 & 3 & 5 & 13 \end{array} \right) \rightsquigarrow \ \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \ \frac{6-5}{3} & \frac{9-10}{3} & 0 & \frac{39-8 \cdot 5}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \ \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{9}{3} & -\frac{6}{3} & 1 & 0 \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} 3 & -2 & 1 & 0 \ -1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Links steht die geordnete Basis B und rechts die geordnete Basis $\bar B$, also (von | nach) und rechts wendet man Gauß an.

Nun noch die Kontrolle, ob es stimmen kann:

$$\underbrace{\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}_{A_{B \bar B}} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\Theta_{B}(v)} = \underbrace{\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\Theta_{\bar B}(v)}$$

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