In diesem Artikel werde ich ein paar einfache Definitionen, die für die Stochastik wichtig sind, einführen.
Basisdefinitionen bei Zufallsexperimenten
Was ist ein ideales Zufallsexperiment? Ein ideales Zufallsexperiment sollte- gut beschrieben,
- wiederholbar und
- mit mehreren möglichen Ausgängen (also zufällig),
Was sind Merkmale? Merkmale sind die Ausgänge eines Zufallsexperiments. Sie können folgendermaßen gegliedert werden:
- quantitativ (Die Zufallsgröße(n) haben natürlicherweise eine Ordnung)
- stetig (Es können in einem Intervall beliebige Werte angenommen werden, z.B. die Größe eines Menschen.)
- diskret (Es können nur bestimmte Größen angenommen werden, z.B. die Größe eines Menschen in ganzen Zentimetern.)
- qualitativ (Es gibt keine natürliche Ordnung.)
- ordinal (Es geht um Zahlengrößen, z.B. Noten.)
- nominal (Etwas völlig anderes, z.B. Geschlecht.)
Urliste / Stichprobe vom Umfang n: \(x := (x_1, x_2, ..., x_n)\) \(H_x (a_j) := \text{Anzahl der Stichprobenelemente in x, die gleich} a_j \text{sind}\) \(H_x (a_j)\) : Absolute Häufigkeit \(h_x(a_j) := \frac{H_x (a_j)}{n}\) : Relative Häufigkeit Empirische Verteilungsfunktion \(t \mapsto \underbrace{F_x(t)}_{\text{empirische Verteilungsfunktion}} := \sum \limits_{j: a_j \le t} {h_x (a_j)}, t \in \mathbb{R}\) Eine alternative Definition der empirischen Verteilungsfunktion ist \(F_x(t) := \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n 1 \{ x_i \le t \}\)
Arithmetisches Mittel ("Durchschnitt"): \(\overline x = \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n x_i = \frac{x_1 + ... + x_n}{n}\) Welcher Wert liegt in der Mitte?
Stichproben-Varianz: \(s_x^2 := \frac{1}{n-1} \sum \limits_{i = 1}^n (x_i - \overline x)^2\) Stichproben-Standardabweichung: \(s_x := + \sqrt{s_x^2}\) Wie stark weichen die Werte von einander ab?
Stichproben-Variationskoeffizient: \(v_x := \frac{s_x}{\overline x}\) Wie groß ist die Schwankung relativ zum Durchschnitt?
Stichproben-Median / Zentralwert: Würde mal alle Werte einer Stichprobe sortieren, sollte der Median der Wert in der Mitte sein. Das ist nicht der Durchschnitt!
\(\tilde x :=
Quantil: Das Quantil unterteilt die Verteilung der Werte der Zufallsvariablen in zwei Bereiche: Links vom \(\alpha\)-Quantil liegen \(100 \cdot p\) Prozent aller Beobachtungswerte bzw. \(100 \cdot p\) Prozent der Gesamtzahl der Zufallswerte. Rechts davon liegen \(100 \cdot (1-p)\) Prozent aller Beobachtungswerte bzw. \(100 \cdot (1-p)\) Prozent der Gesamtzahl der Zufallswerte.
Das Quartil ist das 0,25-Quantil.
\(\alpha\)-getrimmtes Stichprobenmittel: \(\overline x_\alpha := \frac{1}{n-2k} \cdot (x_{n+1} + ... + x_{n-k})\) Spezialfall: \(\overline x = \overline x_0\)
Quartilsabstand: \(\tilde x_{0,75} - \tilde x_{0,25}\) Spannweite: \(x_n - x_1\)
Visualisierungen
Weitere Visualisierungsmöglichkeiten:
- Punktwolke
- Streudiagramm
Annäherungen
Durch eine Regressionsanalyse kann man ein Regressionsmodell erstellen. Es legt den Typ einer Regressionsfunktion fest. Eine Regressionsfunktion kann z.B. die Methode der kleinsten Quadrate sein:
\(\sum \limits_{j=1}^{n}\overbrace{(\underbrace{y_i -a -b \cdot x_j}_{\text{Residuum}})^2}^{
Geradenparameter errechnen
Tja, hier hat er die Folien viel zu schnell durchgeschaltet ... ich habe nur folgendes:
Regressionsgerade: \(y = a^* + b^* \cdot x\) (eindeutig bestimmbar) \(b^* = \frac{\sum \limits_{j=1}^n (x_j - \overline x) (y_j - \overline y)} {\sum \limits_{j = 1}^n (x_j - \overline x)^2}\)
und \(a^* = \overline y - b^* \cdot \overline x\)
mit \(r_{xy} = \frac{\frac{1}{n-1} \sum \limits_{j=1}^n (x_i - \overline x)(y_j - \overline y)} {b_x \cdot b_y}\) (Korrelationskoeffizient der Daten)
gilt \(b^* = r_{xy} \cdot \frac{s_y}{s_x}\)
Irgendwas war noch mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung.
Falls jemand Anmerkungen hat, mehr mitgeschrieben hat oder einfach Fragen aufkommen: Postet doch einen Kommentar!