Endliche Gruppen

Endliche Gruppen haben ein paar interessante Eigenschaften. Unter anderem gibt es nur zwei Gruppen mit vier Elementen. Alle anderen Gruppen sind isomorph zu diesen Gruppen. Das zeige ich im Folgenden.

Gruppen mit vier Elementen

Es gibt genau zwei Gruppen mit vier Elementen. Das sind: $G_1 = (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)$ und $G_2 = (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)$

Beweis Teil 1: G₁ und G₂ sind Gruppen

Eine Gruppe $(A, \circ)$ müssen drei Eigenschaften erfüllen:

(G1) Assoziativität: $\forall a,b,c \in A: (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$
(G2) Neutrales Element: $\exists e \in A \forall a \in A: e \circ a = a \circ e = a$
(G3) Inverses Element: $\forall a \in A \exists a^{-1} \in A: a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$

Die Verknüpfungstafel für $G_1$ lautet:

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

Man sieht direkt an der Tabelle, dass 0 das neutrale Element ist und jedes Element ein Inverses hat. Für die Assoziativität fällt mir nichts besseres ein, als die 64 Möglichkeiten alle auszuprobieren. Geht das kürzer?

Die Verknüpfungstafel für $G_2$ lautet:

+	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,0)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
(0,1)	(0,1)	(0,0)	(1,1)	(1,0)
(1,0)	(1,0)	(1,1)	(0,0)	(0,1)
(1,1)	(1,1)	(1,0)	(0,1)	(0,0)

Das neutrale Element ist hier also (0,0).

Beweis Teil 2: Es gibt keine weiteren Gruppen

Hierfür ist es sehr hilfreich zu wissen, dass die Verknüpfungstafel einer Gruppe immer alle Elemente sowohl in jeder Spalte, als auch in jeder Zeile hat. Dann kann man es Sudoku-mäßig beweisen.

Folgendes Skelett gilt immer:

+	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a
b	b
c	c

#1: e auf (1,1)

Wir haben nun folgende Tabelle:

+	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c
c	c	b

$b + a = c$ (da a und e in dieser Spalte sind und b in der Zeile ist)
$c + a = b$ (nur b fehlt in der Spalte)
$a + b = c$ (da a und e in dieser Zeile und b in der Spalte bereits vorkommt)
$a + c = b$ (nur b fehlt in der Zeile)

#1.1: e auf (2,2)

+	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	e	a
c	c	b	a	e

$c + c = e$ (genau 1 e pro Zeile / Spalte)
$b + c = a$ (nur a fehlt in der Zeile)
$c + b = a$ (nur a fehlt in der Zeile)

Diese Lösung entspricht $G_2$.

#1.2: a auf (2, 2)

+	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	e	c	b
b	b	c	a	e
c	c	b	e	a

$b + c = e$ (genau 1 e pro Zeile / Spalte)
$c + b = e$ (genau 1 e pro Zeile / Spalte)
$c + c = a$ (nur a fehlt in der Zeile)

Das entspricht $G_1$. Das sieht man, wenn man ...

... die Spalte a und b tauscht
... die Zeilen a und b tauscht
... die Elemente a und b tauscht

#2: b auf (1, 1)

+	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	b	c	e
b	b	c	e	a
c	c	e	a	b

$b + a = c$ (da $c + a \neq c$ und c noch nicht in der Spalte ist, aber dennoch vorkommen muss)
$c+a =e$ (genau 1 e pro Zeile / Spalte)
$c+b = a$ (da c und e in der Zeile bereits vorkommen und b in der Spalte ist)
$c+c = b$ (da der Rest schon in der Zeile ist)
$b+b = e$ (da a und b in der Spalte sind, c in der Zeile)
$b+c = a$ (da der Rest in der Zeile schon vorkommt)
$a+b = c$ ( - " - )
$a+c = e$

Das entspricht wieder $G_1$.

#3: c auf (1, 1)

+	e	a	b	c
e	e	a	b	c
a	a	c	e	b
b	b	e	c	a
c	c	b	a	e

$a+b = e$ (a, c bereits in Zeile, b in Spalte)
$a+c = b$ (a, c, e in Zeile)
$b+a = e$ (a, c in Spalte, b in Zeile)
$c+c = e$ (letztes e)
$b+c = a$ (b, c, e in Spalte)
$b+b = c$ (b, e, a in Zeile)
$c+a = b$ (a, c, e in Spalte)
$c+b = a$ (b, e, c in Spalte)