Sei \(\mathbb{Z}[\sqrt{z}]\) mit \(z \in \mathbb{Z}\) der kleinste Ring, der \(\mathbb{Z}\) und \(\sqrt{z}\) enthält. Sei \(A := \{a + b \sqrt{z} | a, b \in \mathbb{Z}\}\).
Behauptung: \(\mathbb{Z}[\sqrt{z}] = A\) Beweis: z.Z.: \(\mathbb{Z}[\sqrt{z}] \subseteq A\) und \(\mathbb{Z}[\sqrt{z}] \supseteq A\)
Zuerst zeige ich \(\mathbb{Z}[\sqrt{z}] \supseteq A\):
- $\mathbb{Z}[\sqrt{z}]$ enthält $\mathbb{Z} \Rightarrow \{a \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{z}]$
- $\mathbb{Z}[\sqrt{z}]$ enthält $\sqrt{z} \Rightarrow \{\sqrt{z}\} \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{z}]$
- $\mathbb{Z}[\sqrt{z}]$ ist ein Ring, also ist $(\mathbb{Z}[\sqrt{z}], +)$ eine abelsche Gruppe.
- $\Rightarrow A \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{z}]$
Nun \(\mathbb{Z}[\sqrt{z}] \subseteq A\):
- \((A, +) \leq (\mathbb{R}, +)\), denn (UG-Kriterium)
- \(0 = 0 + 0 \sqrt{z} \in A \Rightarrow A \neq \emptyset\)
- \(\forall (a+b \sqrt{z}), (c + d \sqrt{z}) \in A:\) \((a+b\sqrt{z}) - (c+d\sqrt{z}) = \underbrace{(a-c)}_{\in \mathbb{Z}} + \underbrace{(b-d)}_{\in \mathbb{Z}} \sqrt{z} \in A\)
- \((A, +)\) ist abelsch, da \((\mathbb{R}, +)\) abelsch ist
- \((A, \cdot)\) ist Untermonoid von \((\mathbb{R}, \cdot)\), denn
- \(1 = 1 + 0 \sqrt{z} \in A\)
- \(\forall (a+b \sqrt{z}), (c + d \sqrt{z}) \in A:\) \((a+b\sqrt{z}) \cdot (c+ d\sqrt{z}) = \underbrace{(ac + z bd)}_{\in \mathbb{Z}} + \underbrace{(ad + bc)}_{\in \mathbb{Z}} \sqrt{z} \in A\)
- Distributivgesetze: Vererben sich aus \((\mathbb{R}, \cdot)\)
- \(\Rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{z}] \subseteq A\)
\(\Rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{z}] = A \blacksquare\)