• Martin Thoma
  • Home
  • Categories
  • Tags
  • Archives
  • Support me

Gauß'sche Zahlen und verwandte Ringe

Sei $\mathbb{Z}[\sqrt{z}]$ mit $z \in \mathbb{Z}$ der kleinste Ring, der $\mathbb{Z}$ und $\sqrt{z}$ enthält. Sei $A := {a + b \sqrt{z} | a, b \in \mathbb{Z}}$.

Behauptung: $\mathbb{Z}[\sqrt{z}] = A$ Beweis: z.Z.: $\mathbb{Z}[\sqrt{z}] \subseteq A$ und $\mathbb{Z}[\sqrt{z}] \supseteq A$

Zuerst zeige ich $\mathbb{Z}[\sqrt{z}] \supseteq A$:

  • $\mathbb{Z}[\sqrt{z}]$ enthält $\mathbb{Z} \Rightarrow \{a \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{z}]$
  • $\mathbb{Z}[\sqrt{z}]$ enthält $\sqrt{z} \Rightarrow \{\sqrt{z}\} \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{z}]$
  • $\mathbb{Z}[\sqrt{z}]$ ist ein Ring, also ist $(\mathbb{Z}[\sqrt{z}], +)$ eine abelsche Gruppe.
  • $\Rightarrow A \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{z}]$

Nun $\mathbb{Z}[\sqrt{z}] \subseteq A$:

  • $(A, +) \leq (\mathbb{R}, +)$, denn (UG-Kriterium)
    • $0 = 0 + 0 \sqrt{z} \in A \Rightarrow A \neq \emptyset$
    • $\forall (a+b \sqrt{z}), (c + d \sqrt{z}) \in A:$ $(a+b\sqrt{z}) - (c+d\sqrt{z}) = \underbrace{(a-c)}_{\in \mathbb{Z}} + \underbrace{(b-d)}_{\in \mathbb{Z}} \sqrt{z} \in A$
  • $(A, +)$ ist abelsch, da $(\mathbb{R}, +)$ abelsch ist
  • $(A, \cdot)$ ist Untermonoid von $(\mathbb{R}, \cdot)$, denn
    • $1 = 1 + 0 \sqrt{z} \in A$
    • $\forall (a+b \sqrt{z}), (c + d \sqrt{z}) \in A:$ $(a+b\sqrt{z}) \cdot (c+ d\sqrt{z}) = \underbrace{(ac + z bd)}_{\in \mathbb{Z}} + \underbrace{(ad + bc)}_{\in \mathbb{Z}} \sqrt{z} \in A$
  • Distributivgesetze: Vererben sich aus $(\mathbb{R}, \cdot)$
  • $\Rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{z}] \subseteq A$

$\Rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt{z}] = A \blacksquare$

Published

Sep 4, 2013
by Martin Thoma

Category

Mathematics

Tags

  • Algebra 6

Contact

  • Martin Thoma - A blog about Code, the Web and Cyberculture
  • E-mail subscription
  • RSS-Feed
  • Privacy/Datenschutzerklärung
  • Impressum
  • Powered by Pelican. Theme: Elegant by Talha Mansoor