Integration durch Substitution

Integration durch Substitution ist eine elementare Methode zum finden von Stammfunktionen von Integralen bzw. zum berechnen von Integralen.

Unbestimmte Integrale

Beispiel 1

\(\int e^{2x} dx = ?\)

Substituiere \(u = 2x\) und \(u'(x) = \frac{du}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{du}{2}\) Also:

\begin{align} \int e^{2x} dx &\stackrel{sub}{=}\\ &= \int e^u \frac{du}{2}\\ &= \int \frac{1}{2} e^u du\\ &= \frac{1}{2} \int e^u du\\ &= \frac{1}{2} \int e^u du\\ &= \frac{1}{2} e^u + C \\ &\stackrel{resub}{=} \frac{1}{2} e^{2x} + C \end{align}

Beispiel 2

\(\int (x-1)^2 dx = ?\)

Substituiere \(u = x-1\) und \(u'(x) = \frac{ \;\mathrm{d}u}{dx} 1 \Rightarrow dx = \;\mathrm{d}u\) Also:

\begin{align} \int (x-1)^2 dx &\stackrel{sub}{=}\\ &= \int u^2 \;\mathrm{d}u\\ &= \frac{1}{3} u^3 + C &\stackrel{resub}{=} \frac{1}{3} (x-1)^3 + C \end{align}

Bestimmte Integrale

Bei bestimmten Integralen muss man die Grenzen auch ersetzen.

Beispiel 1

Dieses Beispiel stammt aus der Klausur „Analysis I“ vom Herbst 2010.

Berechne \(\int_1^4 e^{\sqrt{x}} dx\).

Substituiere:

\begin{align} u &= \sqrt x\\ \frac{\;\mathrm{d}u}{dx} &= u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow dx &= 2 \sqrt{x} \;\mathrm{d}u = 2 u \;\mathrm{d}u \end{align}

.

Es gilt: \(\int_1^4 e^{\sqrt{x}} dx = \int_1^2 e^u 2 u \;\mathrm{d}u = 2 \int_1^2 u \cdot e^u \;\mathrm{d}u\).

Nun wird eine partielle Integration durchgeführt mit \(f'(u)=e^u\) und \(g(u)=u\):

\begin{align} 2 \int_1^2 u \cdot e^u \;\mathrm{d}u &= 2 ([e^u \cdot u]_1^2 - \int_1^2 e^u du) \\ &= 2((e^2 \cdot 2 - e) - [e^u]_1^2)\\ &= 2 \cdot (2e^2 -e - (e^2 - e)) \\ &= 2 \cdot e^2 \end{align}

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