Integration durch Substitution ist eine elementare Methode zum finden von Stammfunktionen von Integralen bzw. zum berechnen von Integralen.
Unbestimmte Integrale
Beispiel 1
$\int e^{2x} dx = ?$
Substituiere $u = 2x$ und $u'(x) = \frac{du}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{du}{2}$ Also: \begin{align} \int e^{2x} dx &\stackrel{sub}{=}\ &= \int e^u \frac{du}{2}\ &= \int \frac{1}{2} e^u du\ &= \frac{1}{2} \int e^u du\ &= \frac{1}{2} \int e^u du\ &= \frac{1}{2} e^u + C \ &\stackrel{resub}{=} \frac{1}{2} e^{2x} + C \end{align}
Beispiel 2
$\int (x-1)^2 dx = ?$
Substituiere $u = x-1$ und $u'(x) = \frac{ \;\mathrm{d}u}{dx} 1 \Rightarrow dx = \;\mathrm{d}u$ Also: \begin{align} \int (x-1)^2 dx &\stackrel{sub}{=}\ &= \int u^2 \;\mathrm{d}u\ &= \frac{1}{3} u^3 + C &\stackrel{resub}{=} \frac{1}{3} (x-1)^3 + C \end{align}
Bestimmte Integrale
Bei bestimmten Integralen muss man die Grenzen auch ersetzen.
Beispiel 1
Dieses Beispiel stammt aus der Klausur „Analysis I“ vom Herbst 2010.
Berechne $\int_1^4 e^{\sqrt{x}} dx$.
Substituiere: \begin{align} u &= \sqrt x\ \frac{\;\mathrm{d}u}{dx} &= u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\ \Leftrightarrow dx &= 2 \sqrt{x} \;\mathrm{d}u = 2 u \;\mathrm{d}u \end{align}.
Es gilt: $\int_1^4 e^{\sqrt{x}} dx = \int_1^2 e^u 2 u \;\mathrm{d}u = 2 \int_1^2 u \cdot e^u \;\mathrm{d}u$.
Nun wird eine partielle Integration durchgeführt mit $f'(u)=e^u$ und $g(u)=u$:
\begin{align} 2 \int_1^2 u \cdot e^u \;\mathrm{d}u &= 2 ([e^u \cdot u]_1^2 - \int_1^2 e^u du) \ &= 2((e^2 \cdot 2 - e) - [e^u]_1^2)\ &= 2 \cdot (2e^2 -e - (e^2 - e)) \ &= 2 \cdot e^2 \end{align}