Integration durch Substitution

Integration durch Substitution ist eine elementare Methode zum Finden von Stammfunktionen von Integralen bzw. zum Berechnen von Integralen.

Zwei Koordinatensysteme mit einer Kurve und schraffierter Fläche, verbunden durch einen Pfeil, rechts dieselbe Fläche mit gedehnter Achse — Substitution wechselt die Variable, die Fläche bleibt gleich.

Unbestimmte Integrale

Beispiel 1

\(\int e^{2x} dx = ?\)

Substituiere \(u = 2x\) und \(u'(x) = \frac{du}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{du}{2}\) Also:

\begin{align} \int e^{2x} dx &\stackrel{sub}{=}\\ &= \int e^u \frac{du}{2}\\ &= \int \frac{1}{2} e^u du\\ &= \frac{1}{2} \int e^u du\\ &= \frac{1}{2} \int e^u du\\ &= \frac{1}{2} e^u + C \\ &\stackrel{resub}{=} \frac{1}{2} e^{2x} + C \end{align}

Beispiel 2

\(\int (x-1)^2 dx = ?\)

Substituiere \(u = x-1\) und \(u'(x) = \frac{ \;\mathrm{d}u}{dx} = 1 \Rightarrow dx = \;\mathrm{d}u\) Also:

\begin{align} \int (x-1)^2 dx &\stackrel{sub}{=}\\ &= \int u^2 \;\mathrm{d}u\\ &= \frac{1}{3} u^3 + C\\ &\stackrel{resub}{=} \frac{1}{3} (x-1)^3 + C \end{align}

Bestimmte Integrale

Bei bestimmten Integralen muss man die Grenzen auch ersetzen.

Beispiel 1

Dieses Beispiel stammt aus der Klausur „Analysis I“ vom Herbst 2010.

Berechne \(\int_1^4 e^{\sqrt{x}} dx\).

Substituiere:

\begin{align} u &= \sqrt x\\ \frac{\;\mathrm{d}u}{dx} &= u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\\ \Leftrightarrow dx &= 2 \sqrt{x} \;\mathrm{d}u = 2 u \;\mathrm{d}u \end{align}

Es gilt: \(\int_1^4 e^{\sqrt{x}} dx = \int_1^2 e^u 2 u \;\mathrm{d}u = 2 \int_1^2 u \cdot e^u \;\mathrm{d}u\).

Nun wird eine partielle Integration durchgeführt mit \(f'(u)=e^u\) und \(g(u)=u\):

\begin{align} 2 \int_1^2 u \cdot e^u \;\mathrm{d}u &= 2 ([e^u \cdot u]_1^2 - \int_1^2 e^u du) \\ &= 2((e^2 \cdot 2 - e) - [e^u]_1^2)\\ &= 2 \cdot (2e^2 -e - (e^2 - e)) \\ &= 2 \cdot e^2 \end{align}