Jordansche Normalform: 2x2 Matrizen

Hier sind $2 \times 2$ Beispiele zum Hauptartikel Wie berechnet man die Jordan’sche Normalform?.

Beispiel 1

Gegeben sei die Matrix $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$:

$$A := \begin{pmatrix} 11 & -4\\ 25 & -9 \end{pmatrix}$$

.

Jordannormalform bestimmen

1. Charakteristisches Polynom berechnen: $p_A(\lambda) = (\lambda - 1)^2$.

Daraus folgt: $\lambda = 1$ ist einziger Eigenwert $\Rightarrow$ 1 Jordanblock

2. Anzahl der Jordankästchen bestimmen:

\begin{align} \dim E_{1} &= \dim \text{Kern}(A -1 \cdot I) \ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 10 & -4\ 25 & -10 \end{pmatrix}\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 10 & -4\ 0 & 0 \end{pmatrix}\ &= \dim \left [ \begin{pmatrix}2\5\end{pmatrix} \right ] \ &= 1 \end{align}

$\Rightarrow$ es gibt genau 1 Jordankästchen in diesem Jordanblock.

$$\Rightarrow J = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

.

Basiswechselmatrix bestimmen

Basisvektoren für den Eigenwert 1 bestimmen:

$$\Omega = \Phi_{| H_\lambda} - \lambda \cdot id = \begin{pmatrix} 10 & - 4\\ 25 & -10 \end{pmatrix} $$

,

$$K_1 = \text{Kern } \Omega^1 = \left [ \begin{pmatrix}2 \\ 5 \end{pmatrix} \right ]$$
$$K_2 = \text{Kern } \Omega^2 = \text{Kern } (\begin{pmatrix}10 & -4\\ 25 & -10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}10 & -4\\ 25 & -10 \end{pmatrix}) = \text{Kern } (\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}) = \left[ \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \right]$$
$$K_2 \stackrel{!}{=} U_1 \oplus K_1 \Rightarrow \left [ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right ] ~~~ U_0 = K_1$$
Schema zum finden der Basiswechselmatrix
Schema zum finden der Basiswechselmatrix

Wähle

$$b_1^1 \in U_1: b_1^1 = \begin{pmatrix}1 \0 \end{pmatrix} \Rightarrow \Omega(b_1^1) = \begin{pmatrix}10 \ 25 \end{pmatrix}$$

$$\Rightarrow S = \begin{pmatrix} 10 & 1 \\ 25 & 0 \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow S^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{25} \\ 1 & -\frac{2}{5} \end{pmatrix}$$
$$A = S \cdot J \cdot S^{-1}$$
$$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 11 & -4\\ 25 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 1 \\ 25 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{25} \\ 1 & -\frac{2}{5} \end{pmatrix}$$

Beispiel 2

Gegeben sei die Matrix $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$:

$$A := \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 6 \end{pmatrix}$$

.

Jordannormalform bestimmen

1. Charakteristisches Polynom berechnen:

$$p_A(\lambda) = \det \begin{pmatrix} 1 -\lambda & 2\\ 3 & 6 - \lambda \end{pmatrix} = (1- \lambda) \cdot (6 - \lambda) - 6 = 6-6\lambda-\lambda+\lambda^2-6=\lambda^2-7\lambda = \lambda \cdot (\lambda - 7)$$

Daraus folgt: 0 und 1 sind Eigenwerte. Sie haben jeweils die algebraischen Vielfachheit 1. Daraus folgt: Die Jordansche Normalform hat genau zwei Jordanblöcke, die beide die Größe 1x1 haben. Daraus folgt: Beide Jordanblöcke haben genau ein Jordankästchen der Größe 1x1. Daraus folgt: Die Jordansche Normalform der Matrix ist:

$$J = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}$$

Basiswechselmatrix bestimmen

Basisvektoren für den Eigenwert 0 bestimmen:

$$K_1 = \text{Kern }(A- 0 \cdot E) = \text{Kern } \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \left [ \begin{pmatrix}2 \\ -1 \end{pmatrix} \right ] $$

Basisvektoren für den Eigenwert 7 bestimmen:

$$K_1 = \text{Kern }(A- 7 \cdot E) = \text{Kern } \begin{pmatrix} -6 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \text{Kern } \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \left [ \begin{pmatrix}1 \\ 3 \end{pmatrix} \right ] $$

Zusammensetzen:

$$S = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$
$$S^{-1} = \frac{1}{7} \cdot \begin{pmatrix}3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Anmerkung

Man hätte übrigens jeden Vektor aus $$\left [ \begin{pmatrix}2 \ -1 \end{pmatrix} \right ]$$ nehmen können. Angenommen, man hätte den Vektor $$\begin{pmatrix}-14 \ 7 \end{pmatrix}$$ gewählt:

$$S = \begin{pmatrix}-14 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$$
$$S^{-1} = \frac{1}{49} \cdot \begin{pmatrix}-3 & 1 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}$$

Das gleiche gilt natürlich für jeden anderen gewählten Vektor. Die inverse Matrix ändert sich selbstverständlich, jedoch nicht die Jordansche Normalform oder die ursprüngliche Matrix.

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