Konvergenz von Folgen

Zahlengerade mit Punkten, die sich einem Grenzwert nähern, um den ein schmales Band liegt, in dem alle späteren Punkte liegen — Eine Folge konvergiert, wenn fast alle Glieder in jeder Umgebung des Grenzwerts liegen.

Sei $(a_n)$ eine Folge. $(a_n)$ heißt konvergent $:\Leftrightarrow \exists_{a \in \mathbb{R}} \forall_{ \varepsilon > 0} \exists_{n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}}: |a_n - a | < \varepsilon~~~\forall n \geq n_0$. In diesem Fall heißt a der Grenzwert von $(a_n)$ und man schreibt: $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n) = a$. Ist $(a_n)$ nicht konvergent, so heißt $(a_n)$ divergent.

Ich werde im Folgenden ein paar wichtige Hinweise geben, wie man Konvergenz oder gegebenenfalls Divergenz zeigen kann.

Wichtige Folgen

Konvergent

$\displaystyle e := \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{n!}$.

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$.

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{c} = 1$, mit $c > 0$.

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1$.

Divergent

$a_n = n$.

$a_n = (-1)^n$

Beschränktheit und Monotonie

Wenn man zeigen kann, dass eine Folge beschränkt ist und monoton steigt oder fällt (und die Schranke in der richtigen Richtung liegt), dann konvergiert die Folge.

Beispiel:

Sei $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge und definiert durch $a_n := 2 + \frac{1}{n}$. 0 ist eine untere Schranke für $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$: $\underbrace{2}_{\geq 0} + \underbrace{\frac{1}{n}}_{\geq 0} \Rightarrow a_n \geq 0$ $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ist monoton fallend: Beweis von $a_n \geq a_{n+1} ~~~ \forall_{n \in \mathbb{N}}$: \begin{align} 1 & \geq 0 ~~~ \forall_{n \in \mathbb{N}^+} \\ \Leftrightarrow 2n^2 + 3n + 1 & \geq 2 n^2 + 3n ~~~ \forall_{n \in \mathbb{N}^+} \\ \Leftrightarrow 2n^2 + n + 2n + 1 & \geq n \cdot (2n + 3) ~~~ \forall_{n \in \mathbb{N}^+} \\ \Leftrightarrow (2n + 1) \cdot (n+1) & \geq n \cdot (2n + 2 + 1) ~~~ \forall_{n \in \mathbb{N}^+} \\ \Leftrightarrow \frac{2n+1}{n} & \geq \frac{2 \cdot(n+1)+1}{n+1} ~~~ \forall_{n \in \mathbb{N}^+} \\ \Leftrightarrow 2 + \frac{1}{n} & \geq 2 + \frac{1}{n+1} ~~~ \forall_{n \in \mathbb{N}^+} \\ \Leftrightarrow a_n & \geq a_{n+1}~~~ \forall_{n \in \mathbb{N}^+} \end{align} $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ist also monoton fallend und hat eine untere Schranke. $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert also. Beachte: Ich habe nicht die größte untere Schranke gewählt. Hatte ich das gemacht (und bewiesen, dass es keine größere untere Schranke gibt), dann hätte ich sogar den Grenzwert bestimmt.

Cauchy-Folgen

In Banachräumen kann man auch nachweisen, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist um Konvergenz zu zeigen. Sie muss dazu dieser Bedingung genügen:

$\forall_{\varepsilon > 0} \exists_{n_0 \in \mathbb{N}}: \forall_{n,m\in\mathbb{N}, n>n_0, m>n_0}: |a_m- a_n| < \varepsilon$

Beispiel: Mir fällt gerade kein Beispiel ein, bei dem man die Konvergenz schöner über das Cauchy-Kriterium zeigen kann als über die Beschränktheit / Monotonie. Falls dir eines einfällt, kannst du es ja in den Kommentar schreiben. (mit [latex] \lim_{n \rightarrow \infty} 123 [/latex] wird es auch als LaTeX dargestellt 😉)

Weiteres

Bei Polynomen darf man den "Ausklammer-Trick" nicht vergessen: $a_n = \frac{3 \cdot n^5 + 2 \cdot n^2 + 42}{1000 \cdot n^5 + n^3} = \frac{n^5}{n^5} \cdot \frac{3 + 2 \cdot \frac{1}{n^3} + 42 \cdot \frac{1}{n^5}}{1000 + \frac{1}{n^2}}= \frac{3 + 2 \cdot \frac{1}{n^3} + 42 \cdot \frac{1}{n^5}}{1000 + \frac{1}{n^2}}$

Das sieht zwar deutlich schlimmer aus als vorher, ist aber besser. Wir wissen, dass $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$ gilt. Also gilt:

$\displaystyle a_n \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \frac{3 + 2 \cdot \overbrace{\frac{1}{n^3}}^{\rightarrow 0} + 42 \cdot \overbrace{\frac{1}{n^5}}^{\rightarrow 0}}{1000 + \underbrace{\frac{1}{n^2}}_{\rightarrow 0}} = \frac{3}{1000}$