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Konvergenz von Reihen

Contents

  • Konvergenz von Reihen
    • Dreiecksungleichung
    • Leibniz-Kriterium
    • Wurzelkriterium
    • Majorantenkriterium
    • Minorantenkriterium
    • Quotientenkriterium

Die folgenden Definitionen sind wortwörtlich aus dem inoffiziellem Skript für Analysis I bei Herrn Dr. Schmoeger übernommen worden.

Dreiecksungleichung

Ist $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ absolut konvergent, so ist $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergent und es gilt: $\left | \sum_{n=1}^{\infty}a_n \right | \leq \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$

Leibniz-Kriterium

Sei $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine monoton fallende, reelle Nullfolge. Dann konvergiert die alternierende Reihe $s = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$.

Wurzelkriterium

Sei $(a_n)$ eine Folge und $\alpha := \lim \sup \sqrt[n]{|a_n|}$.
  1. $\alpha < 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergiert absolut
  2. $\alpha > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergiert
  3. $\alpha = 1 \Rightarrow$ keine Aussage über die Konvergenz von $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ möglich

Majorantenkriterium

Gilt $|a_n| \leq b_n ~\text{ffa } n \in \mathbb{N}$ und ist $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konvergent, so gilt: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ist absolut konvergent.

Minorantenkriterium

Gilt $a_n \geq b_n \geq 0 ~\text{ffa } n \in \mathbb{N}$ und ist $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ divergent, so gilt: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ist divergent.

Quotientenkriterium

Sei $(a_n)$ eine Folge in $\mathbb{R}$ und $a_n \ne 0 \text{ ffa } \mathbb{N}$. $\alpha_n := \frac{a_{n+1}}{a_n}$ (ffa $n \in \mathbb{N}$).
  • Ist $|\alpha_n| \ge 1 \text{ ffa } n \in \mathbb{N} \Rightarrow \sum a_n$ ist divergent.
  • Es sei $(\alpha_n)$ beschränkt, $\beta := \liminf |\alpha_n|$ und $\alpha := \limsup |\alpha_n|$.
    • Ist $\beta > 1 \Rightarrow \sum a_n$ ist divergent.
    • Ist $\alpha < 1 \Rightarrow \sum a_n$ ist absolut konvergent.
    • Ist $\alpha = \beta = 1$, so ist keine allgemeine Aussage möglich.

Published

Sep 15, 2012
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • analysis 7
  • mathematics 59

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