Es gibt einen ganzen Haufen an mathematischen Strukturen. Dieser Artikel soll jeweils die Definition und bekannte Beispiele sammeln. Weitere Strukturen bzw. Beispiele können gerne in den Kommentaren genannt werden.
Magma ¶
Ein Synonym zu „kommutativ“ ist „abelsch“.
Beispiele:
- Jede Halbgruppe ist auch ein Magma.
- $(\mathbb{Z}, -)$ ist ein Magma, aber keine Halbgruppe: $1-(1-1) = 1-0 = 1 \neq -1 = 0-1 = (1-1)-1$
- $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, : )$ ist ein Magma, aber keine Halbgruppe: $1 : (7:7)=1:1=1 \neq \frac{1}{49} = \frac{1}{7} : 7 = (1:7):7$
Gegenbeispiele:
- $(\mathbb{N}, : )$ ist nicht abgeschlossen, also kein Magma.
- $(\mathbb{N}, - )$ ist nicht abgeschlossen, also kein Magma.
Halbgruppe ¶
Eine Verknüpfung $$ ist genau dann assoziativ auf einer Menge $M$, wenn gilt: $\forall a,b,c \in M: (ab)c = a(b*c)$
Beispiele:
- Jedes Monoid ist auch eine Halbgruppe.
- $(\mathbb{N}_{\geq 1}, +)$ ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid.
Monoid ¶
Ein Element $e_M \in M$ heißt genau dann neutral, wenn gilt: $\forall a \in M: e_M * a = a * e_M = a$
Beispiele:
- Jede Gruppe ist auch ein Monoid.
- $(\mathbb{N}_{0}, +)$ ist mit 0 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.
- $(\mathbb{N}_{0}, \cdot)$ ist mit 1 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.
- $(\mathbb{Z}, \cdot)$ ist mit 1 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.
Gruppe ¶
Beispiele:
- Jeder Ring $(R, +, \cdot)$ beinhaltet eine Gruppe $(R, +)$.
- $(\mathbb{Q}, +)$
- $(\mathbb{R}, +)$
- $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$
- $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot)$
Ring ¶
- $(R,+)$ ist eine kommutative Gruppe (das Neutralelement heiße 0),
- $(R,\cdot)$ ist eine Halbgruppe und
- die Distributivgesetze sind erfüllt.
Die Distributivgesetze lauten:
$\forall a,b,c,d \in R: (a+b) \cdot c = ac + bc$
und
$\forall a,b,c,d \in R: a \cdot (c+d) = ac + ad$
Außerdem:
Beispiele:
- Jeder Körper ist auch ein Ring.
- $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ ist ein kommutativer Ring mit Eins, aber kein Körper. Es fehlen die Inversen bei der Multiplikation.
Körper ¶
- $(K,+)$ ist kommutativ.
- $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ ist kommutative Gruppe.
Beispiele:
- $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$
- $(\mathbb{R}, +, \cdot)$
- $(\mathbb{C}, +, \cdot)$
- $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}, +, \cdot)$, wobei $p$ eine Primzahl ist
Modul ¶
- $1_R \cdot x = x$
- $\lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \cdot \mu) \cdot x$
- $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$
- $\lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$
Beispiele:
- Jeder K-Vektorraum ist auch ein K-Modul.
- Das $\mathbb{Z}$-Modul $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ ist ein Modul ohne Basis, also kein Vektorraum.
Vektorraum ¶
- $1_K \cdot x = x$
- $\lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \cdot \mu) \cdot x$
- $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$
- $\lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$
Beispiele:
- $(\mathbb{R}[X], \mathbb{R}, \cdot_V)$: Der Vektorraum der polynome mit Koeffizienten aus $\mathbb{R}$.
Weitere ¶
Ideal ¶
Beispiele:
- Kerne von Ringhomomorphismen sind immer Ideale. (Und Ideale sind Kerne von Ringhomomorphismen.)
Algebra ¶
Beispiele:
- Jeder Ring ist eine $\mathbb{Z}$-Algebra.
Integritätsring ¶
Beispiele:
- Zu dem Ring $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ ist $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ ein Quotientenkörper.
Hauptidealring ¶
Quotientenkörper ¶
Beispiele:
- Jeder Körper ist ein Integritätsring.
- $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$
Hilfsbegriffe ¶
Ideal ¶
- $(I, +)$ ist eine Gruppe,
- $\forall r \in R \forall a \in I: r \cdot a \in I$ und
- $\forall r \in R \forall a \in I: a \cdot r \in I$.
Beispiele:
- Die Menge $2\mathbb{Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Ideal im Ring$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$.
Hauptideal ¶
Beispiele:
- $n\mathbb{Z}$
Primideal ¶
Beispiele:
- $2\mathbb{Z}$ ist Primideal in $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$
Maximales Ideal ¶
Beispiele:
- In $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist jedes Primideal maximal.