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Mathematische Strukturen

Contents

  • Magma
  • Halbgruppe
  • Monoid
  • Gruppe
  • Ring
  • Körper
  • Modul
  • Vektorraum
  • Weitere
    • Ideal
    • Algebra
    • Integritätsring
    • Hauptidealring
    • Quotientenkörper
  • Hilfsbegriffe
    • Ideal
    • Hauptideal
    • Primideal
    • Maximales Ideal

Es gibt einen ganzen Haufen an mathematischen Strukturen. Dieser Artikel soll jeweils die Definition und bekannte Beispiele sammeln. Weitere Strukturen bzw. Beispiele können gerne in den Kommentaren genannt werden.

Magma

Sei $M$ eine Menge und $*:M \times M \rightarrow M$ eine auf $M$ abgeschlossene Abbildung. Dann heißt $(M,*)$ ein Magma.
Sei $(M,*)$ ein Magma. $(M,*)$ heißt kommutativ $:\Leftrightarrow \forall a, b \in M: a*b = b*a$.

Ein Synonym zu „kommutativ“ ist „abelsch“.

Beispiele:

  • Jede Halbgruppe ist auch ein Magma.
  • $(\mathbb{Z}, -)$ ist ein Magma, aber keine Halbgruppe: $1-(1-1) = 1-0 = 1 \neq -1 = 0-1 = (1-1)-1$
  • $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, : )$ ist ein Magma, aber keine Halbgruppe: $1 : (7:7)=1:1=1 \neq \frac{1}{49} = \frac{1}{7} : 7 = (1:7):7$

Gegenbeispiele:

  • $(\mathbb{N}, : )$ ist nicht abgeschlossen, also kein Magma.
  • $(\mathbb{N}, - )$ ist nicht abgeschlossen, also kein Magma.

Halbgruppe

Sei $(M, *)$ ein Magma. $(M, *)$ heißt Halbgruppe $:\Leftrightarrow (M, *)$ ist assoziativ.

Eine Verknüpfung $$ ist genau dann assoziativ auf einer Menge $M$, wenn gilt: $\forall a,b,c \in M: (ab)c = a(b*c)$

Beispiele:

  • Jedes Monoid ist auch eine Halbgruppe.
  • $(\mathbb{N}_{\geq 1}, +)$ ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid.

Monoid

Sei $(M, *)$ eine Halbgruppe. $(M, *)$ heißt Monoid $:\Leftrightarrow (M, *)$ hat ein neutrales Element $e_M$

Ein Element $e_M \in M$ heißt genau dann neutral, wenn gilt: $\forall a \in M: e_M * a = a * e_M = a$

Beispiele:

  • Jede Gruppe ist auch ein Monoid.
  • $(\mathbb{N}_{0}, +)$ ist mit 0 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.
  • $(\mathbb{N}_{0}, \cdot)$ ist mit 1 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.
  • $(\mathbb{Z}, \cdot)$ ist mit 1 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.

Gruppe

Sei $(M, *)$ ein Monoid. $(M, *)$ heißt Gruppe $:\Leftrightarrow \forall a \in M: \exists a^{-1} \in M: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e_M$

Beispiele:

  • Jeder Ring $(R, +, \cdot)$ beinhaltet eine Gruppe $(R, +)$.
  • $(\mathbb{Q}, +)$
  • $(\mathbb{R}, +)$
  • $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$
  • $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot)$

Ring

Sei $R$ eine Menge und $+:R \times R \rightarrow R$, $\cdot:R \times R \rightarrow R$ Verknüpfungen darauf. $(R, +, \cdot)$ heißt Ring $:\Leftrightarrow$
  • $(R,+)$ ist eine kommutative Gruppe (das Neutralelement heiße 0),
  • $(R,\cdot)$ ist eine Halbgruppe und
  • die Distributivgesetze sind erfüllt.

Die Distributivgesetze lauten:

$\forall a,b,c,d \in R: (a+b) \cdot c = ac + bc$

und

$\forall a,b,c,d \in R: a \cdot (c+d) = ac + ad$

Außerdem:

Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring. $(R,+,\cdot)$ heißt Ring mit Eins $:\Leftrightarrow (R, \cdot)$ ist Monoid.
Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring. $(R,+,\cdot)$ heißt kommutativer Ring $:\Leftrightarrow (R, \cdot)$ ist kommutativ.

Beispiele:

  • Jeder Körper ist auch ein Ring.
  • $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ ist ein kommutativer Ring mit Eins, aber kein Körper. Es fehlen die Inversen bei der Multiplikation.

Körper

Sei $(K, +, \cdot)$ ein kommutativer Ring mit Eins. $(K, +, \cdot)$ heißt Körper $:\Leftrightarrow$
  • $(K,+)$ ist kommutativ.
  • $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ ist kommutative Gruppe.

Beispiele:

  • $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$
  • $(\mathbb{R}, +, \cdot)$
  • $(\mathbb{C}, +, \cdot)$
  • $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}, +, \cdot)$, wobei $p$ eine Primzahl ist

Modul

Sei $(R, +_R, \cdot_R)$ ein Ring und $(M, +_M)$ eine kommutative Gruppe. Außerdem sei $\cdot_V: R \times M \rightarrow M$ eine Abbildung. $(M, R, \cdot_V)$ heißt R-Modul $:\Leftrightarrow \forall \lambda, \mu \in R \; x,y \in M:$
  • $1_R \cdot x = x$
  • $\lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \cdot \mu) \cdot x$
  • $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$
  • $\lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$

Beispiele:

  • Jeder K-Vektorraum ist auch ein K-Modul.
  • Das $\mathbb{Z}$-Modul $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ ist ein Modul ohne Basis, also kein Vektorraum.

Vektorraum

Sei $(K, +_K, \cdot_K)$ ein Körper und $(V,+_V)$ eine kommutative Gruppe. Außerdem sei $\cdot_V: K \times V \rightarrow V$ eine skalalre Multiplikation. $(V, K, \cdot_V)$ heißt $K$-Vektorraum $:\Leftrightarrow \forall \lambda, \mu \in K \; x,y \in V:$
  • $1_K \cdot x = x$
  • $\lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \cdot \mu) \cdot x$
  • $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$
  • $\lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$

Beispiele:

  • $(\mathbb{R}[X], \mathbb{R}, \cdot_V)$: Der Vektorraum der polynome mit Koeffizienten aus $\mathbb{R}$.

Weitere

Ideal

Ein Ideal in einem Ring $(R, +, \cdot)$ ist eine Teilmenge $I \subseteq R$, die bezüglich der Addition eine Untergruppe ist und die folgende Eigenschaft hat: $\forall x \in I, r \in R: xr \in I \text{ und } rx \in I$

Beispiele:

  • Kerne von Ringhomomorphismen sind immer Ideale. (Und Ideale sind Kerne von Ringhomomorphismen.)

Algebra

Es sei $R$ ein Ring. Eine $R$-Algebra ist ein Ring $A$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus $\sigma: R \rightarrow A$, sodass gilt: $\forall r \in R, a \in A: \sigma(r) \cdot a = a \cdot \sigma(r)$

Beispiele:

  • Jeder Ring ist eine $\mathbb{Z}$-Algebra.

Integritätsring

Es sei $R$ ein vom Null-Ring verschiedener Ring. $R$ heißt integritätsring $:\Leftrightarrow R$ ist kommuativ und Nullteilerfrei.

Beispiele:

  • Zu dem Ring $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ ist $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ ein Quotientenkörper.

Hauptidealring

Es sei $R$ ein Integritätsring. $R$ heißt Hauptidealring $:\Leftrightarrow$ Jedes Ideal $I \subseteq R$ ist ein Hauptideal.

Quotientenkörper

Es sei $R$ ein Integritätsring. Der kleinste Körper, in den $R$ eingebettet werden kann, wird der Quotientenkörper des Integritätsrings genannt.

Beispiele:

  • Jeder Körper ist ein Integritätsring.
  • $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$

Hilfsbegriffe

Ideal

Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring und $I \subseteq R$. $I$ heißt Ideal $:\Leftrightarrow$
  1. $(I, +)$ ist eine Gruppe,
  2. $\forall r \in R \forall a \in I: r \cdot a \in I$ und
  3. $\forall r \in R \forall a \in I: a \cdot r \in I$.

Beispiele:

  • Die Menge $2\mathbb{Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Ideal im Ring$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$.

Hauptideal

Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring und $I \subseteq R$ ein Ideal. $I$ heißt Hauptideal $:\Leftrightarrow I$ wird von einem Element erzeugt.

Beispiele:

  • $n\mathbb{Z}$

Primideal

Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring und $I \subsetneq R$ ein Ideal. $I$ heißt Primideal in $R :\Leftrightarrow \forall x, y \in R: xy \in I \Rightarrow x \in I \lor y \in I$

Beispiele:

  • $2\mathbb{Z}$ ist Primideal in $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$

Maximales Ideal

Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring und $I \subsetneq R$ ein Ideal. $I$ heißt maximales Ideal in $R :\Leftrightarrow$ Es gibt kein Ideal $J$, für das gilt: $I \subsetneq J \subsetneq R$

Beispiele:

  • In $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist jedes Primideal maximal.

Published

Jun 16, 2013
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • Algebra 6
  • mathematics 61

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