Es gibt einen ganzen Haufen an mathematischen Strukturen. Dieser Artikel soll jeweils die Definition und bekannte Beispiele sammeln. Weitere Strukturen bzw. Beispiele können gerne in den Kommentaren genannt werden.
Magma
Sei $M$ eine Menge und $*:M \times M \rightarrow M$ eine auf $M$ abgeschlossene Abbildung. Dann heißt $(M,*)$ ein Magma.
Sei $(M,*)$ ein Magma.
$(M,*)$ heißt kommutativ $:\Leftrightarrow \forall a, b \in M: a*b = b*a$.
Ein Synonym zu „kommutativ“ ist „abelsch“.
Beispiele:
- Jede Halbgruppe ist auch ein Magma.
- $(\mathbb{Z}, -)$ ist ein Magma, aber keine Halbgruppe: $1-(1-1) = 1-0 = 1 \neq -1 = 0-1 = (1-1)-1$
- $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, : )$ ist ein Magma, aber keine Halbgruppe: $1 : (7:7)=1:1=1 \neq \frac{1}{49} = \frac{1}{7} : 7 = (1:7):7$
Gegenbeispiele:
- $(\mathbb{N}, : )$ ist nicht abgeschlossen, also kein Magma.
- $(\mathbb{N}, - )$ ist nicht abgeschlossen, also kein Magma.
Halbgruppe
Sei $(M, *)$ ein Magma.
$(M, *)$ heißt Halbgruppe $:\Leftrightarrow (M, *)$ ist assoziativ.
Eine Verknüpfung $$ ist genau dann assoziativ auf einer Menge $M$, wenn gilt: $\forall a,b,c \in M: (ab)c = a(b*c)$
Beispiele:
- Jedes Monoid ist auch eine Halbgruppe.
- $(\mathbb{N}_{\geq 1}, +)$ ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid.
Monoid
Sei $(M, *)$ eine Halbgruppe.
$(M, *)$ heißt Monoid $:\Leftrightarrow (M, *)$ hat ein neutrales Element $e_M$
Ein Element $e_M \in M$ heißt genau dann neutral, wenn gilt: $\forall a \in M: e_M * a = a * e_M = a$
Beispiele:
- Jede Gruppe ist auch ein Monoid.
- $(\mathbb{N}_{0}, +)$ ist mit 0 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.
- $(\mathbb{N}_{0}, \cdot)$ ist mit 1 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.
- $(\mathbb{Z}, \cdot)$ ist mit 1 als Neutralelement ein Monoid, aber keine Gruppe.
Gruppe
Sei $(M, *)$ ein Monoid.
$(M, *)$ heißt Gruppe $:\Leftrightarrow \forall a \in M: \exists a^{-1} \in M: a * a^{-1} = a^{-1} * a = e_M$
Beispiele:
- Jeder Ring $(R, +, \cdot)$ beinhaltet eine Gruppe $(R, +)$.
- $(\mathbb{Q}, +)$
- $(\mathbb{R}, +)$
- $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$
- $(\mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot)$
Ring
Sei $R$ eine Menge und $+:R \times R \rightarrow R$, $\cdot:R \times R \rightarrow R$ Verknüpfungen darauf.
$(R, +, \cdot)$ heißt Ring $:\Leftrightarrow$
- $(R,+)$ ist eine kommutative Gruppe (das Neutralelement heiße 0),
- $(R,\cdot)$ ist eine Halbgruppe und
- die Distributivgesetze sind erfüllt.
Die Distributivgesetze lauten:
$\forall a,b,c,d \in R: (a+b) \cdot c = ac + bc$
und
$\forall a,b,c,d \in R: a \cdot (c+d) = ac + ad$
Außerdem:
Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring.
$(R,+,\cdot)$ heißt Ring mit Eins $:\Leftrightarrow (R, \cdot)$ ist Monoid.
Sei $(R,+,\cdot)$ ein Ring.
$(R,+,\cdot)$ heißt kommutativer Ring $:\Leftrightarrow (R, \cdot)$ ist kommutativ.
Beispiele:
- Jeder Körper ist auch ein Ring.
- $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ ist ein kommutativer Ring mit Eins, aber kein Körper. Es fehlen die Inversen bei der Multiplikation.
Körper
Sei $(K, +, \cdot)$ ein kommutativer Ring mit Eins.
$(K, +, \cdot)$ heißt Körper $:\Leftrightarrow$
- $(K,+)$ ist kommutativ.
- $(K \setminus \{0\}, \cdot)$ ist kommutative Gruppe.
Beispiele:
- $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$
- $(\mathbb{R}, +, \cdot)$
- $(\mathbb{C}, +, \cdot)$
- $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}, +, \cdot)$, wobei $p$ eine Primzahl ist
Modul
Sei $(R, +_R, \cdot_R)$ ein Ring und $(M, +_M)$ eine kommutative Gruppe.
Außerdem sei
$\cdot_V: R \times M \rightarrow M$
eine Abbildung.
$(M, R, \cdot_V)$ heißt R-Modul $:\Leftrightarrow \forall \lambda, \mu \in R \; x,y \in M:$
- $1_R \cdot x = x$
- $\lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \cdot \mu) \cdot x$
- $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$
- $\lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$
Beispiele:
- Jeder K-Vektorraum ist auch ein K-Modul.
- Das $\mathbb{Z}$-Modul $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ ist ein Modul ohne Basis, also kein Vektorraum.
Vektorraum
Sei $(K, +_K, \cdot_K)$ ein Körper und $(V,+_V)$ eine kommutative Gruppe.
Außerdem sei
$\cdot_V: K \times V \rightarrow V$
eine skalalre Multiplikation.
$(V, K, \cdot_V)$ heißt $K$-Vektorraum $:\Leftrightarrow \forall \lambda, \mu \in K \; x,y \in V:$
- $1_K \cdot x = x$
- $\lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \cdot \mu) \cdot x$
- $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$
- $\lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$
Beispiele:
- $(\mathbb{R}[X], \mathbb{R}, \cdot_V)$: Der Vektorraum der polynome mit Koeffizienten aus $\mathbb{R}$.
Weitere
Ideal
Ein Ideal in einem Ring $(R, +, \cdot)$ ist eine Teilmenge $I \subseteq R$, die bezüglich der Addition eine Untergruppe ist und die folgende Eigenschaft hat:
$\forall x \in I, r \in R: xr \in I \text{ und } rx \in I$
Beispiele:
- Kerne von Ringhomomorphismen sind immer Ideale. (Und Ideale sind Kerne von Ringhomomorphismen.)
Algebra
Es sei $R$ ein Ring. Eine $R$-Algebra ist ein Ring $A$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus $\sigma: R \rightarrow A$, sodass gilt:
$\forall r \in R, a \in A: \sigma(r) \cdot a = a \cdot \sigma(r)$
Beispiele:
- Jeder Ring ist eine $\mathbb{Z}$-Algebra.
Integritätsring
Es sei $R$ ein vom Null-Ring verschiedener Ring.
$R$ heißt integritätsring $:\Leftrightarrow R$ ist kommuativ und Nullteilerfrei.
Beispiele:
- Zu dem Ring $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ ist $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ ein Quotientenkörper.
Hauptidealring
Es sei $R$ ein Integritätsring.
$R$ heißt Hauptidealring $:\Leftrightarrow$ Jedes Ideal $I \subseteq R$ ist ein Hauptideal.
Quotientenkörper
Es sei $R$ ein Integritätsring. Der kleinste Körper, in den $R$ eingebettet werden kann, wird der Quotientenkörper des Integritätsrings genannt.
Beispiele:
- Jeder Körper ist ein Integritätsring.
- $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$
Hilfsbegriffe
Ideal
Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring und $I \subseteq R$.
$I$ heißt Ideal $:\Leftrightarrow$
- $(I, +)$ ist eine Gruppe,
- $\forall r \in R \forall a \in I: r \cdot a \in I$ und
- $\forall r \in R \forall a \in I: a \cdot r \in I$.
Beispiele:
- Die Menge $2\mathbb{Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Ideal im Ring$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$.
Hauptideal
Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring und $I \subseteq R$ ein Ideal.
$I$ heißt Hauptideal $:\Leftrightarrow I$ wird von einem Element erzeugt.
Beispiele:
- $n\mathbb{Z}$
Primideal
Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring und $I \subsetneq R$ ein Ideal.
$I$ heißt Primideal in $R :\Leftrightarrow \forall x, y \in R: xy \in I \Rightarrow x \in I \lor y \in I$
Beispiele:
- $2\mathbb{Z}$ ist Primideal in $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$
Maximales Ideal
Sei $(R, +, \cdot)$ ein Ring und $I \subsetneq R$ ein Ideal.
$I$ heißt maximales Ideal in $R :\Leftrightarrow$ Es gibt kein Ideal $J$, für das gilt: $I \subsetneq J \subsetneq R$
Beispiele:
- In $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ ist jedes Primideal maximal.