Wie berechne ich das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl?

Im Folgenden werde ich kurz und bündig erklären, wie man das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl berechnet.

Beispiel

Berechne das multiplikativ Inverse zur komplexen Zahl \((\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i)\).

Das Ergebnis ist von der Form \((c + di) \in \mathbb{C}\). Es muss folgende Gleichung erfüllen: \((\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i) \cdot (c + di) = 1\) \(\Leftrightarrow (\frac{1}{10} \cdot c - \frac{1}{5} d) + (\frac{1}{5} c + \frac{1}{10} d)i = 1\) \(\Leftrightarrow (\frac{1}{10} \cdot c - \frac{1}{5} d) = 1 \land (\frac{1}{5} c + \frac{1}{10} d) = 0\) \(\Leftrightarrow \left(

\right) \Leftrightarrow \left( \right) = \left( \right)\) \(\Leftrightarrow \left(

\begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \\ 0 & 1 & -4 \end{array}

\right) \Leftrightarrow \left(

\begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & 0 & 1 - \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & -4 \end{array}

\right) = \left(

\begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & -4 \end{array}

\right)\) \(\Leftrightarrow \left(

\begin{array}{c c | c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -4 \end{array}

\right)\)

Das Ergebnis lautet also: Das multiplikativ Inverse zu \((\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i)\) ist \((2 -4i)\).

Allgemein

Berechne das multiplikativ Inverse zur komplexen Zahl \((a + bi)\).

Das Ergebnis ist von der Form \((c + di) \in \mathbb{C}\). Es muss folgende Gleichung erfüllen: \((a + bi) \cdot (c + di) = 1\) \(\Leftrightarrow (a c - b d) + (b c + a d)i = 1\) \(\Leftrightarrow (a c - b d) = 1 \land (b c + a d) = 0\)

Fall 1: a ungleich 0

\(\Leftrightarrow \left(

\right) \Leftrightarrow \left( \right) = \left( \right)\) \(\Leftrightarrow \left(

\begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array}

\right) \Leftrightarrow \left(

\begin{array}{c c | c} a & 0 & 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2} \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array}

\right) \Leftrightarrow \left(

\begin{array}{c c | c} 1 & 0 & (1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2})/a \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array}

\right)\) \(= \left(

\begin{array}{c c | c} 1 & 0 & (\frac{a^2 + b^2 - b^2}{a^2 + b^2})/a \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array}

\right) = \left(

\begin{array}{c c | c} 1 & 0 & \frac{a}{a^2 + b^2} \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array}

\right)\)

Das Ergebnis lautet also: Das multiplikativ Inverse zu \((a + bi)\) ist also in diesem Fall \((\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i)\).

Fall a gleich 0

\(\Leftrightarrow - b d = 1 \land b c= 0\) \(\implies c = 0 \land d = - \frac{1}{b}\)

Das multiplikativ Inverse zu \((bi)\) ist also in diesem Fall \((0 - \frac{1}{b}i)\) = (\frac{0}{0^2 + b^2} - \frac{b}{0^2 + b^2}i)$.

Ergebnis

Ganz allgemein kann man für das multiplikativ Inverse einer beliebigen komplexen Zahl also folgendes Angeben: \((\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i)\).

Siehe auch

• Wikipedia: Komplexe Zahlen, Inverses Element