Wie berechne ich das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl?

Im Folgenden werde ich kurz und bündig erklären, wie man das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl berechnet.

Beispiel ¶

Berechne das multiplikativ Inverse zur komplexen Zahl $(\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i)$.

Das Ergebnis ist von der Form $(c + di) \in \mathbb{C}$. Es muss folgende Gleichung erfüllen: $(\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i) \cdot (c + di) = 1$ $\Leftrightarrow (\frac{1}{10} \cdot c - \frac{1}{5} d) + (\frac{1}{5} c + \frac{1}{10} d)i = 1$ $\Leftrightarrow (\frac{1}{10} \cdot c - \frac{1}{5} d) = 1 \land (\frac{1}{5} c + \frac{1}{10} d) = 0$ $\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \ \frac{1}{5} & \frac{1}{10} & 0 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \ 0 & \frac{1+4}{10} & -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \ 0 & \frac{1}{2} & -2 \end{array} \right)$ $\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \ 0 & 1 & -4 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & 0 & 1 - \frac{4}{5} \ 0 & 1 & -4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & 0 & \frac{1}{5} \ 0 & 1 & -4 \end{array} \right)$ $\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} 1 & 0 & 2 \ 0 & 1 & -4 \end{array} \right)$

Das Ergebnis lautet also: Das multiplikativ Inverse zu $(\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i)$ ist $(2 -4i)$.

Allgemein ¶

Berechne das multiplikativ Inverse zur komplexen Zahl $(a + bi)$.

Das Ergebnis ist von der Form $(c + di) \in \mathbb{C}$. Es muss folgende Gleichung erfüllen: $(a + bi) \cdot (c + di) = 1$ $\Leftrightarrow (a c - b d) + (b c + a d)i = 1$ $\Leftrightarrow (a c - b d) = 1 \land (b c + a d) = 0$

Fall 1: a ungleich 0 ¶

$\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \ b & a & 0 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \ 0 & a + \frac{b^2}{a} & - \frac{b}{a} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \ 0 & \frac{a^2 + b^2}{a} & - \frac{b}{a} \end{array} \right)$ $\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} a & 0 & 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2} \ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} 1 & 0 & (1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2})/a \ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right)$ $= \left( \begin{array}{c c | c} 1 & 0 & (\frac{a^2 + b^2 - b^2}{a^2 + b^2})/a \ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c | c} 1 & 0 & \frac{a}{a^2 + b^2} \ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right)$

Das Ergebnis lautet also: Das multiplikativ Inverse zu $(a + bi)$ ist also in diesem Fall $(\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i)$.

Fall a gleich 0 ¶

$\Leftrightarrow - b d = 1 \land b c= 0$ $\implies c = 0 \land d = - \frac{1}{b}$

Das multiplikativ Inverse zu $(bi)$ ist also in diesem Fall $(0 - \frac{1}{b}i)$ = (\frac{0}{0^2 + b^2} - \frac{b}{0^2 + b^2}i)$.

Ergebnis ¶

Ganz allgemein kann man für das multiplikativ Inverse einer beliebigen komplexen Zahl also folgendes Angeben: $(\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i)$.

Siehe auch ¶

• Wikipedia: Komplexe Zahlen, Inverses Element