Im Folgenden werde ich kurz und bündig erklären, wie man das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl berechnet.
Beispiel
Berechne das multiplikativ Inverse zur komplexen Zahl \((\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i)\).
Das Ergebnis ist von der Form \((c + di) \in \mathbb{C}\). Es muss folgende Gleichung erfüllen: \((\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i) \cdot (c + di) = 1\) \(\Leftrightarrow (\frac{1}{10} \cdot c - \frac{1}{5} d) + (\frac{1}{5} c + \frac{1}{10} d)i = 1\) \(\Leftrightarrow (\frac{1}{10} \cdot c - \frac{1}{5} d) = 1 \land (\frac{1}{5} c + \frac{1}{10} d) = 0\) \(\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{10} & 0 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \\ 0 & \frac{1+4}{10} & -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & -2 \end{array} \right)\) \(\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & -\frac{1}{5} & 1 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & 0 & 1 - \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c | c} \frac{1}{10} & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right)\) \(\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -4 \end{array} \right)\)
Das Ergebnis lautet also: Das multiplikativ Inverse zu \((\frac{1}{10} + \frac{1}{5}i)\) ist \((2 -4i)\).
Allgemein
Berechne das multiplikativ Inverse zur komplexen Zahl \((a + bi)\).
Das Ergebnis ist von der Form \((c + di) \in \mathbb{C}\). Es muss folgende Gleichung erfüllen: \((a + bi) \cdot (c + di) = 1\) \(\Leftrightarrow (a c - b d) + (b c + a d)i = 1\) \(\Leftrightarrow (a c - b d) = 1 \land (b c + a d) = 0\)
Fall 1: a ungleich 0
\(\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \\ b & a & 0 \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \\ 0 & a + \frac{b^2}{a} & - \frac{b}{a} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \\ 0 & \frac{a^2 + b^2}{a} & - \frac{b}{a} \end{array} \right)\) \(\Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} a & -b & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} a & 0 & 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2} \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right) \Leftrightarrow \left( \begin{array}{c c | c} 1 & 0 & (1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2})/a \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right)\) \(= \left( \begin{array}{c c | c} 1 & 0 & (\frac{a^2 + b^2 - b^2}{a^2 + b^2})/a \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c | c} 1 & 0 & \frac{a}{a^2 + b^2} \\ 0 & 1 & -\frac{b}{a^2 + b^2} \end{array} \right)\)
Das Ergebnis lautet also: Das multiplikativ Inverse zu \((a + bi)\) ist also in diesem Fall \((\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i)\).
Fall 2: a gleich 0
\(\Leftrightarrow - b d = 1 \land b c= 0\) \(\implies c = 0 \land d = - \frac{1}{b}\)
Das multiplikativ Inverse zu \((bi)\) ist also in diesem Fall \((0 - \frac{1}{b}i) = (\frac{0}{0^2 + b^2} - \frac{b}{0^2 + b^2}i)\).
Ergebnis
Ganz allgemein kann man für das multiplikativ Inverse einer beliebigen komplexen Zahl also folgendes Angeben: \((\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2 + b^2}i)\).
Siehe auch
- Wikipedia: Komplexe Zahlen, Inverses Element