Will man das charakteristische Polynom einer Abbildungsmatrix berechnen, so muss man zuerst sicher im Umgang mit Determinanten sein.
Rechenregeln für Determinanten
Man darf eine Zeile mit einer Konstanten a multiplizieren, muss dann aber die Determinante durch a teilen: $$det \begin{pmatrix} 3 & 2 & 12 & 5 \ 2 & 1 & 6 & 4 \ 2 & 0 & 2 & -3\ 2 & 2 & 7 & 4 \end{pmatrix} \begin{array}{c} | \cdot 2 \ | \cdot 3 \ | \cdot 3 \ | \cdot 3 \end{array} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot det \begin{pmatrix} 6 & 4 & 24 & 10 \ 6 & 3 & 18 & 12 \ 6 & 0 & 6 & -9\ 6 & 6 & 21 & 12 \end{pmatrix} $$
Man darf zwei Zeilen / Spalten tauschen, muss dann aber die Determinante mit (-1) multiplizieren: $$det \begin{pmatrix} 6 & 4 & 24 & 10 \ 6 & 3 & 18 & 12 \ 6 & 0 & 6 & -9\ 6 & 6 & 21 & 12 \end{pmatrix} \begin{array}{c} \cdot \ \cdot \ \leftarrow \ \leftarrow \end{array} = - det \begin{pmatrix} 6 & 4 & 24 & 10 \ 6 & 3 & 18 & 12 \ 6 & 6 & 21 & 12 \ 6 & 0 & 6 & -9 \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} 6 & 24 & 4 & 10 \ 6 & 18 & 3 & 12 \ 6 & 21 & 6 & 12 \ 6 & 6 & 0 & -9 \end{pmatrix}$$
Man darf eine Zeile mit einer Konstanten multiplizieren und auf eine beliebige andere Zeile addieren (wie beim Gauss-Verfahren)
Man darf eine Zeile und eine Spalte zugleich entfernen (Entwicklung nach Spalte / Zeile xy), muss dann aber folgendermaßen ausgleichen: Entwicklung nach der k-ten Spalte: $D(a_1, ... , a_n) = \sum_{j=1}^{n}(-1)^{k+j}a_{jk}D_{jk}$ Entwicklung nach der i-ten Zeile: $det A = \sum_{k=1}^n (-1)^{i+k}a_{ik}D_{ik}$ Direkt entfernen, ohne etwas weiteres zu beachten, kann man die Zeile, wenn in dieser Zeile nur eine 1 steht und diese 1 an einer ungeraden Spalte (1, ..., n) ist. Eine Spalte kann man direkt entfernen, wenn in der Spalte nur an einer Stelle eine 1 steht und diese 1 an einer ungeraden Zeile (1, ..., n) steht.
Berechnung des charakteristischen Polynoms
Das charakteristische Polynom einer Abbildungsmatrix A ist der Wert folgender Determinanten: $det(\lambda \cdot E_n - A)$, wobei $E_n$ die Einheitsmatrix ist.
Beispiel
Siehe Wikipedia.
Berechnung am PC
Mit Wolfram|Alpha kann man das charakteristische Polynom berechnen und auch direkt die Eigenwerte.
Wozu das Ganze?
An dem charakteristischem Polynom kann man direkt die Eigenwerte ablesen. Existiert eine Basis aus Eigenvektoren für den Vektorraum, dann ist eine Matrix diagonalsiierbar. Wenn eine Matrix in Diagonalform ist, dann kann man damit besonders gut rechnen.
Siehe auch
- Wikipedia: Determinante, Charakteristisches Polynom, Eigenwertproblem, Diagonalmatrix
- Skript von Herrn Prof. Dr. Leuzinger, S. 131 - 142: Determinanten.