Nicht alle Matrizen sind invertierbar. Matrizen, die invertierbar sind, nennt man auch regulär. Die Menge aller invertierbaren $n \times n$–Matrizen über einem Grundkörper (oder Grundring) K bildet eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe $GL_n(K)$.
Das Inverse einer Matrix A wird berechnet, indem eine Matrix (A|E) gebildet wird und mit dem Gaußschem Eliminationsverfahren in $(E | A^{-1})$ aufgelöst wird.
Beispiel
Ein Inverses existiert
$$\left( \begin{array}{c c c c | c c c c} 4 & 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\ 2 & 7 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c c c | c c c c} 2 & 1 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & 1 & 0 & 0\ 0 & 6 & -1 & 7 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
$$\rightsquigarrow^* \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 12 & -12 & -2 & 2 \ -16 & 18 & 5 & -13 \ -8 & 10 & 1 & -1 \ 12 & -14 & -3 & 11 \end{pmatrix}$$ (siehe Wolfram|Alpha)
Kein Inverses existiert
Matrizen, zu denen kein Inverses existiert, werden singulär genannt. Das ist ein Beispiel: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ (siehe Wolfram|Alpha) Sobald also erkennbar ist, dass beim Eliminationsverfahren eine Nullzeile auftritt, kann man abbrechen.
Matrizen, die nicht quadratisch sind, haben kein Inverses: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ (siehe Wolfram|Alpha)
Siehe auch
- Wikipedia: Reguläre Matrix, Gaußsches Eliminationsverfahren
- Skript von Prof. Dr. Leuzinger, ab S. 53