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Wie bestimme ich das Inverse einer Matrix?

Contents

  • Wie bestimme ich das Inverse einer Matrix?
    • Beispiel
      • Ein Inverses existiert
      • Kein Inverses existiert
    • Siehe auch

Nicht alle Matrizen sind invertierbar. Matrizen, die invertierbar sind, nennt man auch regulär. Die Menge aller invertierbaren \(n \times n\)–Matrizen über einem Grundkörper (oder Grundring) K bildet eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe \(GL_n(K)\).

Das Inverse einer Matrix A wird berechnet, indem eine Matrix (A|E) gebildet wird und mit dem Gaußschem Eliminationsverfahren in \((E | A^{-1})\) aufgelöst wird.

Beispiel

Ein Inverses existiert

$$\left( \begin{array}{c c c c | c c c c} 4 & 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 7 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c c c | c c c c} 2 & 1 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & 1 & 0 & 0\\ 0 & 6 & -1 & 7 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
$$\rightsquigarrow^* \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 12 & -12 & -2 & 2 \\ -16 & 18 & 5 & -13 \\ -8 & 10 & 1 & -1 \\ 12 & -14 & -3 & 11 \end{pmatrix}$$

(siehe Wolfram|Alpha)

Kein Inverses existiert

Matrizen, zu denen kein Inverses existiert, werden singulär genannt. Das ist ein Beispiel:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

(siehe Wolfram|Alpha) Sobald also erkennbar ist, dass beim Eliminationsverfahren eine Nullzeile auftritt, kann man abbrechen.

Matrizen, die nicht quadratisch sind, haben kein Inverses:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

(siehe Wolfram|Alpha)

Siehe auch

  • Wikipedia: Reguläre Matrix, Gaußsches Eliminationsverfahren
  • Skript von Prof. Dr. Leuzinger, ab S. 53

Published

Mär 20, 2012
by Martin Thoma

Category

German posts

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  • Linear algebra 18
  • mathematics 59
  • Matrix 8
  • Wolfram|Alpha 5

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