Wie bestimme ich das Inverse einer Matrix?

Nicht alle Matrizen sind invertierbar. Matrizen, die invertierbar sind, nennt man auch regulär. Die Menge aller invertierbaren \(n \times n\)–Matrizen über einem Grundkörper (oder Grundring) K bildet eine Gruppe bezüglich der Matrixmultiplikation, die allgemeine lineare Gruppe \(GL_n(K)\).

Das Inverse einer Matrix A wird berechnet, indem eine Matrix (A|E) gebildet wird und mit dem Gaußschem Eliminationsverfahren in \((E | A^{-1})\) aufgelöst wird.

Beispiel

Ein Inverses existiert

\(\left(

\begin{array}{c c c c | c c c c} 4 & 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 7 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}
\right) \rightsquigarrow \left(
\begin{array}{c c c c | c c c c} 2 & 1 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & 1 & 0 & 0\\ 0 & 6 & -1 & 7 & -\frac{1}{2} & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}
\right)\)

\(\rightsquigarrow^* \frac{1}{8}

\begin{pmatrix} 12 & -12 & -2 & 2 \\ -16 & 18 & 5 & -13 \\ -8 & 10 & 1 & -1 \\ 12 & -14 & -3 & 11 \end{pmatrix}
\) (siehe Wolfram|Alpha)

Kein Inverses existiert

Matrizen, zu denen kein Inverses existiert, werden singulär genannt. Das ist ein Beispiel: \(

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\) (siehe Wolfram|Alpha) Sobald also erkennbar ist, dass beim Eliminationsverfahren eine Nullzeile auftritt, kann man abbrechen.

Matrizen, die nicht quadratisch sind, haben kein Inverses: \(

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
\) (siehe Wolfram|Alpha)

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