Wie bestimme ich den Kern einer linearen Abbildung?

Definition

Der Kern einer linearen Abbildung ist eine Menge von Vektoren. In diesem Artikel erkläre ich kurz und bündig, wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt.

Sei $\Phi: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Der Kern von $\Phi$ ist die Menge aller Vektoren von V, die durch $\Phi$ auf den Nullvektor $0 \in W$ abgebildet werden, also: $\text{Kern } \Phi := \{v \in V | \Phi(v) = 0\}$

Vorgehen

Jede lineare Abbildung \(\Phi\) lässt sich in dieser Form beschreiben:

\(\Phi: V \rightarrow W\) mit \(\dim V = m\) und \(\dim W = n\) \(\Phi(x) = A \cdot x, ~~~ A \in R^{n \times m}, x \in V\)

Also muss man, um den Kern von \(\Phi\) zu bestimmen, nur das folgende homogene Gleichungssystem nach x auflösen: \(A \cdot x = 0\)

In Wolfram|Alpha benötigt man dafür übrigens das Schlüsselwort null space. Hier ist Beispiel #2 in Wolfram|Alpha.

Beispiel #1

Aufgabenstellung

Sei \(A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) und definiert als

$$A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Sei \(\Phi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) eine lineare Abbildung und definiert als

$$\Phi(x) := A \cdot x$$

Was ist der Kern von \(\Phi\)?

Rechnung

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Man sieht direkt, dass die Matrix den Rang 2 hat. Also muss der Lösungsraum 1-dimensional sein. Mit dem -1-Trick kommt nam auf den Lösungsraum:

$$\mathcal{L} = \left [ \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \right ]$$

Also:

$$\text{Kern } \Phi = \left [ \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \right ]$$

Beispiel #2

Aufgabenstellung

Sei \(A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}\) und definiert als

$$A := \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$

Sei \(\varphi: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^5\) eine lineare Abbildung und definiert als

$$\varphi(x) := A \cdot x$$

Was ist der Kern von \(\varphi\)?

Rechnung

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$$\leadsto \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 0 & -3 & -4 & -5 & -4\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$\leadsto \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Die Matrix hat Rang 3, daraus folgt, dass die Dimension des Lösungsraumes 2 ist. Wieder über den -1-Trick kann man den Lösungsraum direkt ablesen:

$$\mathcal{L} = \left [ \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \right ] = \text{Kern} \varphi $$

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