Definition ¶
Der Kern einer linearen Abbildung ist eine Menge von Vektoren. In diesem Artikel erkläre ich kurz und bündig, wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt.
Vorgehen ¶
Jede lineare Abbildung $\Phi$ lässt sich in dieser Form beschreiben:
$\Phi: V \rightarrow W$ mit $\dim V = m$ und $\dim W = n$ $\Phi(x) = A \cdot x, ~~~ A \in R^{n \times m}, x \in V$
Also muss man, um den Kern von $\Phi$ zu bestimmen, nur das folgende homogene Gleichungssystem nach x auflösen: $A \cdot x = 0$
In Wolfram|Alpha benötigt man dafür übrigens das Schlüsselwort null space. Hier ist Beispiel #2 in Wolfram|Alpha.
Beispiel #1 ¶
Aufgabenstellung ¶
Sei $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ und definiert als
$$A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5 & 6\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
Sei $\Phi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ eine lineare Abbildung und definiert als
$$\Phi(x) := A \cdot x$$
Was ist der Kern von $\Phi$?
Rechnung ¶
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5 & 6\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 0 & -3 & -6\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 0 & 1 & 2\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\ 0 & 1 & 2\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Man sieht direkt, dass die Matrix den Rang 2 hat. Also muss der Lösungsraum 1-dimensional sein. Mit dem -1-Trick kommt nam auf den Lösungsraum:
$$\mathcal{L} = \left [ \begin{pmatrix} -1\ 2\ -1 \end{pmatrix} \right ]$$
Also:
$$\text{Kern } \Phi = \left [ \begin{pmatrix} -1\ 2\ -1 \end{pmatrix} \right ]$$
Beispiel #2 ¶
Aufgabenstellung ¶
Sei $A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}$ und definiert als
$$A := \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$
Sei $\varphi: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^5$ eine lineare Abbildung und definiert als
$$\varphi(x) := A \cdot x$$
Was ist der Kern von $\varphi$?
Rechnung ¶
$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$$
$$\leadsto \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 0 & -3 & -4 & -5 & -4\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$\leadsto \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 0 & -1 & -2 & -1\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Die Matrix hat Rang 3, daraus folgt, dass die Dimension des Lösungsraumes 2 ist. Wieder über den -1-Trick kann man den Lösungsraum direkt ablesen:
$$\mathcal{L} = \left [ \begin{pmatrix} -1\ -1\ 2\ -1\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\ -1\ 1\ 0\ -1 \end{pmatrix} \right ] = \text{Kern} \varphi $$