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Wie bestimme ich den Kern einer linearen Abbildung?

Contents

  • Wie bestimme ich den Kern einer linearen Abbildung?
    • Definition
    • Vorgehen
    • Beispiel #1
      • Aufgabenstellung
      • Rechnung
    • Beispiel #2
      • Aufgabenstellung
      • Rechnung

Definition

Der Kern einer linearen Abbildung ist eine Menge von Vektoren. In diesem Artikel erkläre ich kurz und bündig, wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt.

Sei $\Phi: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Der Kern von $\Phi$ ist die Menge aller Vektoren von V, die durch $\Phi$ auf den Nullvektor $0 \in W$ abgebildet werden, also: $\text{Kern } \Phi := \{v \in V | \Phi(v) = 0\}$

Vorgehen

Jede lineare Abbildung \(\Phi\) lässt sich in dieser Form beschreiben:

\(\Phi: V \rightarrow W\) mit \(\dim V = m\) und \(\dim W = n\) \(\Phi(x) = A \cdot x, ~~~ A \in R^{n \times m}, x \in V\)

Also muss man, um den Kern von \(\Phi\) zu bestimmen, nur das folgende homogene Gleichungssystem nach x auflösen: \(A \cdot x = 0\)

In Wolfram|Alpha benötigt man dafür übrigens das Schlüsselwort null space. Hier ist Beispiel #2 in Wolfram|Alpha.

Beispiel #1

Aufgabenstellung

Sei \(A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) und definiert als

$$A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Sei \(\Phi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) eine lineare Abbildung und definiert als

$$\Phi(x) := A \cdot x$$

Was ist der Kern von \(\Phi\)?

Rechnung

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Man sieht direkt, dass die Matrix den Rang 2 hat. Also muss der Lösungsraum 1-dimensional sein. Mit dem -1-Trick kommt nam auf den Lösungsraum:

$$\mathcal{L} = \left [ \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \right ]$$

Also:

$$\text{Kern } \Phi = \left [ \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \right ]$$

Beispiel #2

Aufgabenstellung

Sei \(A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}\) und definiert als

$$A := \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$

Sei \(\varphi: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^5\) eine lineare Abbildung und definiert als

$$\varphi(x) := A \cdot x$$

Was ist der Kern von \(\varphi\)?

Rechnung

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
$$\leadsto \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\\ 0 & -3 & -4 & -5 & -4\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$\leadsto \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Die Matrix hat Rang 3, daraus folgt, dass die Dimension des Lösungsraumes 2 ist. Wieder über den -1-Trick kann man den Lösungsraum direkt ablesen:

$$\mathcal{L} = \left [ \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \right ] = \text{Kern} \varphi $$

Published

Aug 16, 2012
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • Linear algebra 18
  • mathematics 59

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