Definition
Der Kern einer linearen Abbildung ist eine Menge von Vektoren. In diesem Artikel erkläre ich kurz und bündig, wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt.
Vorgehen
Jede lineare Abbildung $\Phi$ lässt sich in dieser Form beschreiben:
$\Phi: V \rightarrow W$ mit $\dim V = m$ und $\dim W = n$ $\Phi(x) = A \cdot x, ~~~ A \in R^{n \times m}, x \in V$
Also muss man, um den Kern von $\Phi$ zu bestimmen, nur das folgende homogene Gleichungssystem nach x auflösen: $A \cdot x = 0$
In Wolfram|Alpha benötigt man dafür übrigens das Schlüsselwort null space. Hier ist Beispiel #2 in Wolfram|Alpha.
Beispiel #1
Aufgabenstellung
Sei $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ und definiert als
$$A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5 & 6\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
Sei $\Phi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ eine lineare Abbildung und definiert als
$$\Phi(x) := A \cdot x$$
Was ist der Kern von $\Phi$?
Rechnung
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5 & 6\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 0 & -3 & -6\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 0 & 1 & 2\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\ 0 & 1 & 2\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Man sieht direkt, dass die Matrix den Rang 2 hat. Also muss der Lösungsraum 1-dimensional sein. Mit dem -1-Trick kommt nam auf den Lösungsraum:
$$\mathcal{L} = \left [ \begin{pmatrix} -1\ 2\ -1 \end{pmatrix} \right ]$$
Also:
$$\text{Kern } \Phi = \left [ \begin{pmatrix} -1\ 2\ -1 \end{pmatrix} \right ]$$
Beispiel #2
Aufgabenstellung
Sei $A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}$ und definiert als
$$A := \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$
Sei $\varphi: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^5$ eine lineare Abbildung und definiert als
$$\varphi(x) := A \cdot x$$
Was ist der Kern von $\varphi$?
Rechnung
$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$$
$$\leadsto \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 3 & 0 & 2 & 1 & 2\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 2 & 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 & -2 & -1\ 0 & -3 & -4 & -5 & -4\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$\leadsto \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & 1\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 0 & -1 & -2 & -1\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Die Matrix hat Rang 3, daraus folgt, dass die Dimension des Lösungsraumes 2 ist. Wieder über den -1-Trick kann man den Lösungsraum direkt ablesen:
$$\mathcal{L} = \left [ \begin{pmatrix} -1\ -1\ 2\ -1\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\ -1\ 1\ 0\ -1 \end{pmatrix} \right ] = \text{Kern} \varphi $$