Definition
Der Kern einer linearen Abbildung ist eine Menge von Vektoren. In diesem Artikel erkläre ich kurz und bündig, wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt.
Definition: Sei \(\Phi: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Der Kern von \(\Phi\) ist die Menge aller Vektoren von \(V\), die durch \(\Phi\) auf den Nullvektor \(0 \in W\) abgebildet werden, also:
$$\text{Kern } \Phi := \{v \in V \mid \Phi(v) = 0\}$$
Vorgehen
Jede lineare Abbildung \(\Phi\) lässt sich in dieser Form beschreiben:
$$\Phi: V \rightarrow W \text{ mit } \dim V = m \text{ und } \dim W = n$$
$$\Phi(x) = A \cdot x, \quad A \in \mathbb{R}^{n \times m}, x \in V$$
Also muss man, um den Kern von \(\Phi\) zu bestimmen, nur das folgende homogene Gleichungssystem nach \(x\) auflösen:
$$A \cdot x = 0$$
In Wolfram|Alpha benötigt man dafür übrigens das Schlüsselwort null space. Hier ist Beispiel #2 in Wolfram|Alpha.
Beispiel #1
Aufgabenstellung
Sei \(A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}\) und definiert als
$$A := \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}$$
Sei \(\Phi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) eine lineare Abbildung und definiert als
$$\Phi(x) := A \cdot x$$
Was ist der Kern von \(\Phi\)?
Rechnung
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\leadsto
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & -3 & -6\\
0 & -6 & -12
\end{pmatrix}
\leadsto
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\leadsto
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
Man sieht direkt, dass die Matrix den Rang 2 hat. Also muss der Lösungsraum 1-dimensional sein. Mit dem "\(-1\)-Trick" kommt man auf den Lösungsraum:
$$\mathcal{L} = \left [
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
\right ]$$
Also:
$$\text{Kern } \Phi = \left [
\begin{pmatrix}
-1\\
2\\
-1
\end{pmatrix}
\right ]$$
Beispiel #2
Aufgabenstellung
Sei \(A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}\) und definiert als
$$A := \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -2 & -2 & -1\\
3 & 0 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
-1 & -1 & -2 & -2 & -1\\
2 & 1 & 3 & 3 & 2
\end{pmatrix}$$
Sei \(\varphi: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^5\) eine lineare Abbildung und definiert als
$$\varphi(x) := A \cdot x$$
Was ist der Kern von \(\varphi\)?
Rechnung
$$\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -2 & -2 & -1\\
3 & 0 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
-1 & -1 & -2 & -2 & -1\\
2 & 1 & 3 & 3 & 2
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}$$
$$\leadsto
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -2 & -2 & -1\\
3 & 0 & 2 & 1 & 2\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
-1 & -1 & -2 & -2 & -1\\
2 & 1 & 3 & 3 & 2
\end{pmatrix}
\leadsto
\begin{pmatrix}
-1 & -1 & -2 & -2 & -1\\
0 & -3 & -4 & -5 & -4\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & -1 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$
$$\leadsto
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\leadsto
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
Die Matrix hat Rang 3, daraus folgt, dass die Dimension des Lösungsraumes 2 ist.
Wieder über den "\(-1\)-Trick" kann man den Lösungsraum direkt ablesen:
$$\mathcal{L} =
\left [
\begin{pmatrix}
-1\\
-1\\
2\\
-1\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1\\
0\\
-1
\end{pmatrix}
\right ]
=
\text{Kern } \varphi
$$