Wie bestimme ich die Basiswechselmatrix?

Eine Basiswechselmatrix oder auch Übergangsmatrix dient dem Basiswechsel.

Angenommen man hat zwei Basen des $\mathbb{R}^2$-Vektorraumes:

und

Sei nun $$v := \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$$ ein Vektor zur Standardbasis. Da $B$ und $\bar B$ auch Basen des $\mathbb{R}^2$ sind, kann man v auch zu diesen Basen darstellen:

$$\Theta_{B}(v) = \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}$$ und $$\Theta_{\bar B}(v) = \begin{pmatrix} -5 \ 2 \end{pmatrix}$$

Wie kann man nun diese neue Darstellung berechnen? Nun, wir bestimmen eine Matrix A für die gilt: $A \cdot \Theta_B(v) = \Theta_{\bar B}(v) ~~~ \forall v \in \mathbb{R}^2$. Diese Matrix findet man, indem man beide geordneten Basen nebeneinander schreibt und die rechte Seite "durchgaußt":

$$\left( \begin{array}{c c | c c} 1 & 2 & 3 & 8 \ 2 & 3 & 5 & 13 \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \ 2 & 3 & 5 & 13 \end{array} \right) \rightsquigarrow \ \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \ \frac{6-5}{3} & \frac{9-10}{3} & 0 & \frac{39-8 \cdot 5}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{8}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \ \left( \begin{array}{c c | c c} \frac{9}{3} & -\frac{6}{3} & 1 & 0 \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{array} \right) \rightsquigarrow \left( \begin{array}{c c | c c} 3 & -2 & 1 & 0 \ -1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Links steht die geordnete Basis B und rechts die geordnete Basis $\bar B$, also (von | nach) und rechts wendet man Gauß an.

Nun noch die Kontrolle, ob es stimmen kann:

Siehe auch ¶

• Wikipedia: Basiswechsel (Vektorraum), Standardbasis
• Skript von Prof. Dr. Leuzinger, ab S. 82