In der Mathematik spielen Beweise eine zentrale Rolle. Es gibt verschiedene Beweisarten, aber im folgenden will ich nur einen direkten Beweis führen. Dieses Beispiel wurde in der Übung zu Analysis I von Herrn Bolleyer gemacht.
Gliederung
Beweise kann man in drei Teile gliedern:
Voraussetzungen: Hier werden spezielle Objekte, die im Beweis benötigt werden, definiert.
Behauptung: Die Behauptung stellt eine Aussage über die Objekte in der Voraussetzung auf. Sie kann sehr kurz sein.
Beweis: Der Beweis zeigt durch eine folge von logischen Schlussfolgerungen aus den Voraussetzungen, dass die Behauptung wahr ist.
Nötig ist manchmal nur die Behauptung und der Beweis. Mit der Vorraussetzung ist der Beweis zwar vollständig, allerdings würde ich vor dem eigentlichem Beweis eine Beweisidee begrüßen. Die Beweisidee kann sehr kurz sein. Das ist der eine Satz, der einem Studenten, der sich mit der Aussage beschäftigt hat, sagt wie sie zu lösen ist.
Beispiel eines direkten Beweises
Voraussetzung: Sei \(M = \{ x \in \mathbb{R}: |x-3| \lt 2 \}\)
Behauptung: \(M = (1,5)\)
Beweis: Per Definition gilt:
\( M = \{x \in \mathbb{R} \lt 2 \} = \underbrace{\{x \in \mathbb{R} : |x-3| \lt 2 \land x \geq 3 \}}_{M_1} \cup \underbrace{\{x \in \mathbb{R}: |x -3| \lt 2 \land x \lt 3\}}_{M_2}\)
Betrachte \(M_1\): \( x\in M_1 \Leftrightarrow |x-3| \lt 2 \land x \geq 3\) \(\Leftrightarrow x-3 \lt 2 \land x \geq 3\) \(\Leftrightarrow x \lt 5 \land x \geq 3\) \(\Leftrightarrow 3 \leq x \lt 5\) Also gilt \(M_1 = [3, 5)\)
Betrachte \(M_2\): \( x\in M_2 \Leftrightarrow |x-3| \lt 2 \land x \lt 3\) \(\Leftrightarrow -(x-3) \lt 2 \land x \lt 3\) \(\Leftrightarrow -x + 3 \lt 2 \land x \lt 3\) \(\Leftrightarrow 1 \lt x \land x \lt 3\) \(\Leftrightarrow 1 \lt x \lt 3\) Also gilt \(M_2 = (1,3)\)
Es gilt \(M = M_1 \cup M_2 = [3, 5) \cup (1,3) = (1,5)\) q.e.d.
Weitere Beweisformen
Der Induktionsbeweis ist sehr nützlich, wenn man eine Aussage für Elemente zeigen muss, die einen festen Abstand haben. Also z.B. eine Aussage für die Natürlichen Zahlen oder die ganzen Zahlen.
Der Widerspruchsbeweis ist gut geeignet, wenn notwendige, aber nicht hinreichende Kriterien für das Gegenteil der Behauptung nicht erfüllt sind.
Siehe auch
- Wikipedia: Beweis
- Inoffizielles Script