Sei $A \in \mathfrak{B}dmitA^0 \neq \emptysetund\lambda_d (A \setminus A^0) = 0sowie\phi \in C^1(U, \mathbb{R}^d)mitU \subseteq \mathbb{R}^doffenundA \subseteq U.Weitersei\phiaufA^0injektivund\det(\phi'(x)) \neq 0fürx \in A^0.Seif \in \mathfrak{L}^1(\phi(A))oderf \geq 0aufAsogilt\int f(x) dy = \int_A f(\phi(x)) | \det(\phi'(x)) | dx$
In Anwendungen: Y∈Bd und f:Y→¯R messbar.
Aufgabe: Berechne ∫Yf(x)dy falls es existiert.
Vorgehensweise:
- Zeige f integrierbar oder f≥0 auf Y
- Finde A∈Bd und ϕ:A→Rd mit ϕ(A)=Y und den obigen Eigenschaften
ϕ sollte so gewählt sein, dass die späteren Rechenwege relativ einfach werden. - Berechne ∫Yf(y)dy=∫ϕ(A)f(y)dy=∫Af(ϕ(x))|det(ϕ′(x))|dx
Beispiele ¶
Sei Y:=(x,y)∈R2|1≤|(2,2)−(x,y)|≤2 Setze ϕ:R2→R2 mit ϕ(r,φ):=(2\2)+r⋅(cos(φ) sin(φ))
ϕ∈C1(R2,R2) und für r∈R gilt detϕ′(r,φ)=det(cos(φ)−rsin(φ) sin(φ)rcos(φ))=r
Für r≠0 gilt also detϕ′(r,φ)≠0 für jedes φ∈R. ϕ ist nicht injektiv auf R2. Setze A:=[1,2]×[0,2π].
Dann ist A0=(1,2)×(0,2π) undϕ auf A0 injektiv. Außerdem ist detϕ′(x)≠0 für x∈A0.
Für f:Y→R mit f(Y1,Y2):=Y1−Y2 gilt f∈L1(Y) (Y kompakt, f stetig)
Außerdem:
\begin{align} \int_Y f(y) dy &= \int_\phi(A) f(y) dy \ &\stackrel{Tr}{=} \int_A f(\phi(r, \varphi)) |\det \phi'(r, \varphi)| d(r, \varphi) \ &= \int_A r(2 + r \cos(y) - 2 - r \sin(\varphi)) d(r, \varphi) \ &= \int_1^2 (\int_0^{2\pi} r^2 (\cos \varphi - \sin \varphi d \varphi) dr \ &= \underbrace{(\int_1^2 r^2 dr)}{< \infty} \underbrace{(\int_0^{2\pi} \cos \varphi - \sin \varphi d \varphi)}\ &= 0 \end{align}