Sei $A \in \mathfrak{B}d$ mit $A^0 \neq \emptyset$ und $\lambda_d (A \setminus A^0) = 0$ sowie $\phi \in C^1(U, \mathbb{R}^d)$ mit $U \subseteq \mathbb{R}^d$ offen und $A \subseteq U$. Weiter sei $\phi$ auf $A^0$ injektiv und $\det(\phi'(x)) \neq 0$ für $x \in A^0$. Sei $f \in \mathfrak{L}^1(\phi(A))$ oder $f \geq 0$ auf $A$ so gilt $\int f(x) dy = \int_A f(\phi(x)) | \det(\phi'(x)) | dx$
In Anwendungen: $Y \in \mathfrak{B}_d$ und $f: Y \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ messbar.
Aufgabe: Berechne $\int_Y f(x) dy$ falls es existiert.
Vorgehensweise:
- Zeige $f$ integrierbar oder $f \geq 0$ auf $Y$
- Finde $A \in \mathfrak{B}_d$ und $\phi: A \rightarrow \mathbb{R}^d$ mit $\phi(A) = Y$ und den obigen Eigenschaften
$\phi$ sollte so gewählt sein, dass die späteren Rechenwege relativ einfach werden. - Berechne $\int_{Y} f(y) dy = \int_{\phi(A)} f(y) dy = \int_{A} f(\phi(x)) |\det (\phi'(x)) | dx$
Beispiele
Sei $$Y := {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 1 \leq | (2,2) - (x,y)| \leq 2}$$ Setze $\phi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ mit $$\phi(r, \varphi) := \begin{pmatrix}2\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}\cos(\varphi)\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}$$
$\phi \in C^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^2)$ und für $r \in \mathbb{R}$ gilt $\det \phi'(r, \varphi) = \det \left ( \begin{array}{cc} \cos(\varphi) & - r \sin(\varphi)\ \sin(\varphi) & r \cos (\varphi) \end{array} \right ) = r$
Für $r \neq 0$ gilt also $\det \phi'(r, \varphi) \neq 0$ für jedes $\varphi \in \mathbb{R}$. $\phi$ ist nicht injektiv auf $\mathbb{R}^2$. Setze $A := [1,2] \times [0, 2\pi]$.
Dann ist $A^0 = (1,2) \times (0,2 \pi)$ und$ \phi$ auf $A^0$ injektiv. Außerdem ist $\det \phi'(x) \neq 0$ für $x \in A^0$.
Für $f:Y \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(Y_1, Y_2) := Y_1 - Y_2$ gilt $f \in \mathfrak{L}^1(Y)$ ($Y$ kompakt, $f$ stetig)
Außerdem:
\begin{align} \int_Y f(y) dy &= \int_\phi(A) f(y) dy \ &\stackrel{Tr}{=} \int_A f(\phi(r, \varphi)) |\det \phi'(r, \varphi)| d(r, \varphi) \ &= \int_A r(2 + r \cos(y) - 2 - r \sin(\varphi)) d(r, \varphi) \ &= \int_1^2 (\int_0^{2\pi} r^2 (\cos \varphi - \sin \varphi d \varphi) dr \ &= \underbrace{(\int_1^2 r^2 dr)}{< \infty} \underbrace{(\int_0^{2\pi} \cos \varphi - \sin \varphi d \varphi)}\ &= 0 \end{align}