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Wie wendet man den Transformationssatz an?

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Folgender Artikel basiert auf meinem Mitschrieb der Analysis III Übung bei Herrn Bolleyer.

Sei \(A \in \mathfrak{B}_d\) mit \(A^0 \neq \emptyset\) und \(\lambda_d (A \setminus A^0) = 0\) sowie \(\phi \in C^1(U, \mathbb{R}^d)\) mit \(U \subseteq \mathbb{R}^d\) offen und \(A \subseteq U\). Weiter sei \(\phi\) auf \(A^0\) injektiv und \(\det(\phi'(x)) \neq 0\) für \(x \in A^0\). Sei \(f \in \mathfrak{L}^1(\phi(A))\) oder \(f \geq 0\) auf \(A\) so gilt \(\int_{\phi(A)} f(x) dy = \int_A f(\phi(x)) | \det(\phi'(x)) | dx\)

In Anwendungen: \(Y \in \mathfrak{B}_d\) und \(f: Y \rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) messbar.

Aufgabe: Berechne \(\int_Y f(x) dy\) falls es existiert.
Vorgehensweise:

  1. Zeige $f$ integrierbar oder $f \geq 0$ auf $Y$
  2. Finde $A \in \mathfrak{B}_d$ und $\phi: A \rightarrow \mathbb{R}^d$ mit $\phi(A) = Y$ und den obigen Eigenschaften
    $\phi$ sollte so gewählt sein, dass die späteren Rechenwege relativ einfach werden.
  3. Berechne $\int_{Y} f(y) dy = \int_{\phi(A)} f(y) dy = \int_{A} f(\phi(x)) |\det (\phi'(x)) | dx$

Beispiele

Sei

$$Y := \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 1 \leq \| (2,2) - (x,y)\| \leq 2\}$$

Setze \(\phi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) mit

$$\phi(r, \varphi) := \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}$$

\(\phi \in C^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^2)\) und für \(r \in \mathbb{R}\) gilt \(\det \phi'(r, \varphi) = \det \left (

\begin{array}{cc} \cos(\varphi) & - r \sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) & r \cos (\varphi) \end{array}
\right ) = r\)

Für \(r \neq 0\) gilt also \(\det \phi'(r, \varphi) \neq 0\) für jedes \(\varphi \in \mathbb{R}\). \(\phi\) ist nicht injektiv auf \(\mathbb{R}^2\). Setze \(A := [1,2] \times [0, 2\pi]\).

Dann ist \(A^0 = (1,2) \times (0,2 \pi)\) und\( \phi\) auf \(A^0\) injektiv. Außerdem ist \(\det \phi'(x) \neq 0\) für \(x \in A^0\).

Für \(f:Y \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(Y_1, Y_2) := Y_1 - Y_2\) gilt \(f \in \mathfrak{L}^1(Y)\) (\(Y\) kompakt, \(f\) stetig)

Außerdem:

\begin{align} \int_Y f(y) dy &= \int_\phi(A) f(y) dy \\ &\stackrel{Tr}{=} \int_A f(\phi(r, \varphi)) |\det \phi'(r, \varphi)| d(r, \varphi) \\ &= \int_A r(2 + r \cos(y) - 2 - r \sin(\varphi)) d(r, \varphi) \\ &= \int_1^2 (\int_0^{2\pi} r^2 (\cos \varphi - \sin \varphi d \varphi) dr \\ &= \underbrace{(\int_1^2 r^2 dr)}_{< \infty} \underbrace{(\int_0^{2\pi} \cos \varphi - \sin \varphi d \varphi)}_{= 0}\\ &= 0 \end{align}

Published

Dez 22, 2012
by Martin Thoma

Category

Cyberculture

Tags

  • analysis 7
  • mathematics 59

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