Sei \(A \in \mathfrak{B}_d\) mit \(A^0 \neq \emptyset\) und \(\lambda_d (A \setminus A^0) = 0\) sowie \(\phi \in C^1(U, \mathbb{R}^d)\) mit \(U \subseteq \mathbb{R}^d\) offen und \(A \subseteq U\). Weiter sei \(\phi\) auf \(A^0\) injektiv und \(\det(\phi'(x)) \neq 0\) für \(x \in A^0\). Sei \(f \in \mathfrak{L}^1(\phi(A))\) oder \(f \geq 0\) auf \(A\) so gilt \(\int_{\phi(A)} f(x) dy = \int_A f(\phi(x)) | \det(\phi'(x)) | dx\)
In Anwendungen: \(Y \in \mathfrak{B}_d\) und \(f: Y \rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) messbar.
Aufgabe: Berechne \(\int_Y f(x) dy\) falls es existiert. Vorgehensweise:
- Zeige \(f\) integrierbar oder \(f \geq 0\) auf \(Y\)
- Finde \(A \in \mathfrak{B}_d\) und \(\phi: A \rightarrow \mathbb{R}^d\) mit \(\phi(A) = Y\) und den obigen Eigenschaften
\(\phi\) sollte so gewählt sein, dass die späteren Rechenwege relativ einfach werden. - Berechne \(\int_{Y} f(y) dy = \int_{\phi(A)} f(y) dy = \int_{A} f(\phi(x)) |\det (\phi'(x)) | dx\)
Beispiele
Sei \(Y := \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 1 \leq \| (2,2) - (x,y)\| \leq 2\}\).
Setze \(\phi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) mit \(\phi(r, \varphi) :=
\(\phi \in C^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^2)\) und für \(r \in \mathbb{R}\) gilt \(\det \phi'(r, \varphi) = \det \left (
Für \(r \neq 0\) gilt also \(\det \phi'(r, \varphi) \neq 0\) für jedes \(\varphi \in \mathbb{R}\). \(\phi\) ist nicht injektiv auf \(\mathbb{R}^2\). Setze \(A := [1,2] \times [0, 2\pi]\).
Dann ist \(A^0 = (1,2) \times (0,2 \pi)\) und\( \phi\) auf \(A^0\) injektiv. Außerdem ist \(\det \phi'(x) \neq 0\) für \(x \in A^0\).
Für \(f:Y \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(Y_1, Y_2) := Y_1 - Y_2\) gilt \(f \in \mathfrak{L}^1(Y)\) (\(Y\) kompakt, \(f\) stetig)
Außerdem: