Zeitdilatation

Der Weltraum ist wahnsinnig groß. Wir benötigen schon sehr lange um innerhalb unseres Sonnensystems zu reisen. Die New Horizons Raumsonde hat 9.5 Jahre gebraucht, um den Pluto zu erreichen. Und das, obwohl der Pluto nur etwa 4 Lichtstunden von der Erde entfernt ist. Ganz naiv gesagt hat die Sonde in etwa eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 0.42 Lichtstunden pro Jahr gehabt. Das sind 0.005% der Lichtgeschwindigkeit.

Das nächste Sternensystem, Alpha Centauri, ist etwa 4.37 Lichtjahre entfernt. Wenn wir das innerhalb von 30 Jahren erreichen wollten müssten wir sehr viel schneller sein. Naiv gerechnet bräuchten wir eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 14.6% der Lichtgeschwindigkeit.

Relativistische Effekte

Bei Geschwindigkeiten über 0.1% der Lichtgeschwindigkeit werden relativistische Effekte relevant.

Die Zeitdilatation ist ein solcher Effekt. Sie besagt, dass die Zeit für einen Beobachter, der sich relativ zu einem anderen Beobachter bewegt, langsamer vergeht. Die Zeitdilatation ist ein Effekt der speziellen Relativitätstheorie. Sie beträgt:

$$ t' = \frac{t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Benötigte Beschleunigung

Nun wollen wir, dass für die Besatzung des Raumschiffs die erlebte Zeit 30 Jahre beträgt.

  • Entfernung: 4.37 Lichtjahre
  • Erlebte Zeit: 30 Jahre
  • Gesucht: Geschwindigkeit
$$ \begin{align} v &= \frac{s}{t} \\ &= \frac{s}{\frac{t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}\\ &= \frac{s \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{t}\\ \Leftrightarrow v \cdot t &= s \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\\ \Leftrightarrow v^2 \cdot t^2 &= s^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)\\ \Leftrightarrow v^2 \cdot t^2 \cdot c^2 &= s^2 \cdot c^2 - s^2 \cdot v^2\\ \Leftrightarrow v^2 (t^2 \cdot c^2 + s^2) &= s^2 \cdot c^2\\ \Leftrightarrow v^2 &= \frac{s^2 \cdot c^2}{t^2 \cdot c^2 + s^2}\\ \Leftrightarrow v &= \sqrt{\frac{s^2 \cdot c^2}{t^2 \cdot c^2 + s^2}}\\ &= \sqrt{\frac{s^2}{t^2 + \left ( \frac{s}{c} \right)^2}}\\ &= \frac{s}{\sqrt{t^2 + \left ( \frac{s}{c} \right)^2}}\\ &= \frac{4.37 \text{ Lichtjahre}}{\sqrt{(30\text{Jahre})^2 + \left (4.37\text{Jahre} \right)^2}}\\ &= 0.144c \end{align} $$

Man müsste also "nur" 14.4% der Lichtgeschwindigkeit als Durchschnittsgeschwindigkeit haben um in 30 Jahren Alpha Centauri zu erreichen.

Nun muss man jedoch beschleunigen und abbremsen. Nehmen wir an, dass wir mit konstanter Beschleunigung \(a\) beschleunigen und abbremsen. Dann müssen wir nach 2.185 Lichtjahren abbremsen. Wir müssen also 2.185 Lichtjahre nach 15 Jahren zurückgelegt haben.

Weil wir gleichmäßig beschleunigen und bei Stillstand beginnen, ist die Durchschnittsgeschwindigkeit die hälte der Maximalgeschwindigkeit. Ohne Zeitdieletation müssen wir also bis auf etwa 30% der Lichtgeschwindigkeit Beschleunigen.

$$ \begin{align} a &= \frac{\Delta v}{\Delta t}\\ &= \frac{0.3c}{15\text{15 Jahre}}\\ &= \frac{0.3 \cdot 300 000 000 m/s}{15 \cdot 365.25 \cdot 24 \cdot 3600 s}\\ &= 0.19 \frac{m}{s^2} \end{align} $$

Das ist ziemlich wenig:

  • Ein Auto beschleunigt in etwa 3 Sekunden von 0 auf 100 km/h. Das sind etwa 9.3 m/s².
  • Beim freien Fall beschleunigt man mit etwa 9.81 m/s².

Benötigte Energie

Nehmen wir mal an, dass ein Raumschiff für eine Reise von 30 Jahren das Ziel hat eine permanente Besiedlung von Alpha Centauri zu ermöglichen. Gehen wir weiter davon aus, das mindestens 500 Personen nötig sind um genug genetische Vielfalt zu haben. Im Durschnitt wiegen sie 75kg. Jeder bekommt 25kg an persönlichen Gegenständen. Für jeden werden 100L Wasser und 10kg Nahrungsmittel an Bord gebraucht. Jede der 500 Personen bekommt einen Standardcontainers an Platz - und das Leergewicht eines ISO-Container liegt bei 2300kg. Das wären jetzt schon

$$ \begin{align} m &=500 \cdot (75\text{kg} + 25\text{kg} + 100\text{kg} + 10\text{kg} + 2300\text{kg})\\ &= 1255000\text{kg} \end{align} $$

Rechnen wir mal mit 1500 Tonnen. Die ISS wiegt etwa 430 Tonnen, hat aber maximal 11 Personen an Bord.

Um eine Masse von 1.500.000kg auf 0.3c zu beschleunigen benötigt man:

$$ \begin{align} E_k &= \left (\frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right ) \cdot m \cdot c^2 &= 0.048 \cdot 1500000 \text{kg} \cdot (300000000 \text{m/s})^2\\ &= 6.5 \cdot 10^{21} \text{J} \end{align} $$

Eine Wattstunde (1 Wh) sind \(3600\) Joule. Wir renden also von \(1.8 \cdot 10^{12}\) MWh. Das sind \(1.8 \cdot 10^{9}\) TWh. Die Weltenergieverbrauch lag 2019 bei etwa 170.000 TWh. Also würde so ein Raumschiff etwa 10.000 Jahre den Weltenergieverbrauch benötigen.

Mit Solarzellen werden wir also nicht weit kommen. Wenn wir Interstellar reisen wollen, müssen wir uns also etwas anderes einfallen lassen.

Deuterium-Fusion

Aus einem Kilogram Deuterium (\(^2H\)) würde sich etwa \(8.5 \cdot 10^{14}\) Joule, also ca. 230 TWh, erzeugen. Man bräuchte also 740kg Deuterium und müsste sämmtliche Energie nutzbar einsetzen können.

Siehe auch

Published


by

Category

My bits and bytes

Tags

Contact