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Jordansche Normalform: 4x4 Matrizen

Contents

  • Jordansche Normalform: 4x4 Matrizen
    • Beispiel 1
      • Jordannormalform bestimmen
      • Basiswechselmatrix bestimmen
      • Programmierung
Hier sind $4 \times 4$ Beispiele zum Hauptartikel Wie berechnet man die Jordan’sche Normalform?.

Beispiel 1

Gegeben sei die Matrix \(A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}\):

$$A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 47 & 11\\ 3 & 2 & 8 & 15\\ 0 & 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 8 & 1 \end{pmatrix}$$

Jordannormalform bestimmen

1. Charakteristisches Polynom berechnen: \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5) \cdot (\lambda - 4) \cdot (\lambda + 1)^2\).

(→ Wolfram|Alpha und „Wie berechnet man das charakteristische Polynom?“)

Daraus folgt:

  • $\lambda = 5$ ist Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 1.
  • $\lambda = 4$ ist Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 1.
  • $\lambda = -1$ ist Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 2.

Es gibt also genau drei Jordan-Blöcke in der Jordannormalform. Zwei davon haben die Kantenlänge 1 und deshalb nur ein Jordan-Kästchen.

2. Anzahl der Jordankästchen bestimmen:

\begin{align} \dim \text{Eig}(-1) &= \dim \text{Kern}(A +1 \cdot I) \\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 47 & 11\\ 3 & 3 & 8 & 15\\ 0 & 0 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 8 & 2 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1.5 & 0\\ 1 & 1 & -3 & 13\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1.5 & 0\\ 0 & 0 & -4.5 & 13\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1.5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 14 \frac{1}{8}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \dim \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix}\right ]\\ &= 1 \end{align}

Es gibt im Jordanblock zu

\begin{align} \dim \text{Eig}(1) &= \dim \text{Kern}(A-E)\\ &= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix} -2 & -2 & 2 & 2\\ 2 & -1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & 3 & 3\\ 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \dim \left [\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix} \right ] = 1 \end{align}
$$J_B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
\begin{align}K_2(1) &= \text{Kern}(\Omega(1)^2) \\ &= \text{Kern }\begin{pmatrix} -2 & -2 & 2 & 2\\ 2 & -1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}^2 \\ &= \text{Kern }\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4 & -4\\ -4 & 0 & 0 & 4\\ -4 & -4 & 4 & 4\\ 0 & 4 & -4 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \text{Kern }\begin{pmatrix}\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \left [ \begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} \right ] \end{align}

K_2(1)

\begin{align} \Omega &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \Omega^2 &= \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\\ \Omega^3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align}

.

\begin{align} \text{Eig}(1) &= K_1(1) = \text{Kern}(\Omega) \\ &= \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix} \right ] \end{align}
\begin{align} K_2(1) &= \text{Kern}(\Omega^2) \\ &= \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix} \right ]\\ K_3(1) &= \text{Kern}(\Omega^3) = \mathbb{R}^4\\ \end{align}

\(K_3(1) = \mathbb{R}^4\) ist das größte Jordankästchen von der Größe 3. Damit ergibt sich folgende Jordannormalform:

$$J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Basiswechselmatrix bestimmen

Für jedes Jordankästchen der Länge \(i\) muss nun 1 Vektor gewählt werden und \(i-1\) Vektoren müssen bestimmt werden. Dafür muss \(\Omega(\lambda) := C - \lambda \cdot E\) bestimmt werden.

Eigenwert 1: Kästchengröße 3

$$b_1 \in K_3(1) \land b_1 \notin K_2(1) \Rightarrow b_1 \in \left [ \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \right ]$$

Wähle

$$b_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$
$$b_2 = \Omega(b_1) = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$$
$$b_3 = \Omega^2(b_1) = \Omega(b_2)= \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Kästchengröße 1

$$b_4 = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}$$

Das 1-er Kästchen soll zuerst kommen, also muss \(b_4\) zuerst in die Basiswechselmatrix. Unsere gesuchte Matrix \(S\) für die oben angegebene JNF ist also:

$$S = \begin{pmatrix} b_4 & b_3 & b_2 & b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Nun sollte \(J = S^{-1} \cdot C \cdot S\) gelten. Also, Schritt für Schritt:

\begin{align} S^{-1} \cdot C \cdot S &= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

Programmierung

Hier habe ich mal für Leute, die kein Python haben, als Kommentar das Ergebnis präsentiert. Ich denke damit ist klar, welchen Einfluss die Reihenfolge der Basisvektoren hat.

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-

import numpy
from numpy import linalg

numpy.set_printoptions(precision=2, suppress=True, linewidth=120)

C = [[1, 0, -1, -1], [-1, 0, 0, 0], [0, 0, 2, 1], [1, 1, 0, 1]]
C = numpy.matrix(C)
b1 = [1, 0, 0, 0]
b2 = [0, -1, 0, 1]
b3 = [-1, 1, 1, -1]
b4 = [1, -1, 0, 0]

S = numpy.matrix([b4, b1, b2, b3]).transpose()  # [[ 1  0  0  0]
print("4123")  #                                   [ 0  1  0  0]
print(linalg.inv(S) * C * S)  #                    [ 0  1  1  0]
#                                                  [ 0  0  1  1]]

S = numpy.matrix([b4, b1, b3, b2]).transpose()  # [[ 1  0  0  0]
print("4132")  #                                   [ 0  1  0  0]
print(linalg.inv(S) * C * S)  #                    [ 0  0  1  1]
#                                                  [ 0  1  0  1]]

S = numpy.matrix([b4, b2, b1, b3]).transpose()  # [[ 1  0  0  0]
print("4213")  #                                   [ 0  1  1  0]
print(linalg.inv(S) * C * S)  #  [ 0  0  1  0]
#  [ 0  1  0  1]]

S = numpy.matrix([b4, b2, b3, b1]).transpose()  # [[ 1  0  0  0]
print("4231")  #  [ 0  1  0  1]
print(linalg.inv(S) * C * S)  #  [ 0  1  1  0]
#  [ 0  0  0  1]]

S = numpy.matrix([b4, b3, b1, b2]).transpose()  # [[ 1  0  0  0]
print("4312")  #  [ 0  1  0  1]
print(linalg.inv(S) * C * S)  #  [ 0  0  1  0]
#  [ 0  0  1  1]]

S = numpy.matrix([b4, b3, b2, b1]).transpose()  # [[ 1  0  0  0]
print("4321")  #  [ 0  1  1  0]
print(linalg.inv(S) * C * S)  #  [ 0  0  1  1]
#  [ 0  0  0  1]]

S = numpy.matrix([b3, b2, b1, b4]).transpose()  # [[ 1  1  0  0]
print("3214")  #  [ 0  1  1  0]
print(linalg.inv(S) * C * S)  #  [ 0  0  1  0]
#  [ 0  0  0  1]]

Published

Sep 10, 2012
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • Linear algebra 18
  • mathematics 59
  • Matrix 8

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