Hier sind $4 \times 4$ Beispiele zum Hauptartikel Wie berechnet man die Jordan’sche Normalform?.
Beispiel 1
Gegeben sei die Matrix \(A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}\):
$$A := \begin{pmatrix}
1 & 2 & 47 & 11\\
3 & 2 & 8 & 15\\
0 & 0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 8 & 1
\end{pmatrix}$$
Jordannormalform bestimmen
1. Charakteristisches Polynom berechnen: \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5) \cdot (\lambda - 4) \cdot (\lambda + 1)^2\).
(→ Wolfram|Alpha und „Wie berechnet man das charakteristische Polynom?“)
Daraus folgt:
- \(\lambda = 5\) ist Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 1.
- \(\lambda = 4\) ist Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 1.
- \(\lambda = -1\) ist Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit 2.
Es gibt also genau drei Jordan-Blöcke in der Jordannormalform. Zwei davon haben die Kantenlänge 1 und deshalb nur ein Jordan-Kästchen.
2. Anzahl der Jordankästchen bestimmen:
\begin{align}
\dim \text{Eig}(-1) &= \dim \text{Kern}(A +1 \cdot I) \\
&= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix}
2 & 2 & 47 & 11\\
3 & 3 & 8 & 15\\
0 & 0 & 4 & 1\\
0 & 0 & 8 & 2
\end{pmatrix}\\
&= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1.5 & 0\\
1 & 1 & -3 & 13\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1.5 & 0\\
0 & 0 & -4.5 & 13\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1.5 & 0\\
0 & 0 & 0 & 14 \frac{1}{8}\\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \dim \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix}\right ]\\
&= 1
\end{align}
Es gibt im Jordanblock zu
\begin{align}
\dim \text{Eig}(1) &= \dim \text{Kern}(A-E)\\
&= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix}
-2 & -2 & 2 & 2\\
2 & -1 & 1 & 1\\
2 & 1 & -1 & -1\\
0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}\\
&= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & -1\\
0 & -3 & 3 & 3\\
0 & -1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\
&= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\\
&= \dim \left [\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix} \right ] = 1
\end{align}
$$J_B =
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
\begin{align}K_2(1) &= \text{Kern}(\Omega(1)^2) \\
&= \text{Kern }\begin{pmatrix}
-2 & -2 & 2 & 2\\
2 & -1 & 1 & 1\\
2 & 1 & -1 & -1\\
0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}^2 \\
&= \text{Kern }\begin{pmatrix}
4 & 4 & -4 & -4\\
-4 & 0 & 0 & 4\\
-4 & -4 & 4 & 4\\
0 & 4 & -4 & 0 \end{pmatrix}\\
&= \text{Kern }\begin{pmatrix}\\
1 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\
&= \left [ \begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} \right ]
\end{align}
K_2(1)
\begin{align}
\Omega &= \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 & -1\\
-1 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
\Omega^2 &= \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 & -1\\
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1\\
-1 & -1 & -1 & -1
\end{pmatrix}\\
\Omega^3 &= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}
.
\begin{align}
\text{Eig}(1) &= K_1(1) = \text{Kern}(\Omega) \\
&= \text{Kern} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&= \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix} \right ]
\end{align}
\begin{align}
K_2(1) &= \text{Kern}(\Omega^2) \\
&= \text{Kern} \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&= \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix} \right ]\\
K_3(1) &= \text{Kern}(\Omega^3) = \mathbb{R}^4\\
\end{align}
\(K_3(1) = \mathbb{R}^4\) ist das größte Jordankästchen von der Größe 3. Damit ergibt sich folgende Jordannormalform:
$$J =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
Basiswechselmatrix bestimmen
Für jedes Jordankästchen der Länge \(i\) muss nun 1 Vektor gewählt werden und \(i-1\) Vektoren müssen bestimmt werden. Dafür muss \(\Omega(\lambda) := C - \lambda \cdot E\) bestimmt werden.
Eigenwert 1: Kästchengröße 3
$$b_1 \in K_3(1) \land b_1 \notin K_2(1) \Rightarrow b_1 \in \left [ \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \right ]$$
Wähle
$$b_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$
$$b_2 = \Omega(b_1) = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$$
$$b_3 = \Omega^2(b_1) = \Omega(b_2)= \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}$$
Kästchengröße 1
$$b_4 = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}$$
Das 1-er Kästchen soll zuerst kommen, also muss \(b_4\) zuerst in die Basiswechselmatrix. Unsere gesuchte Matrix \(S\) für die oben angegebene JNF ist also:
$$S = \begin{pmatrix}
b_4 & b_3 & b_2 & b_1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 1\\
-1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$
Nun sollte \(J = S^{-1} \cdot C \cdot S\) gelten. Also, Schritt für Schritt:
\begin{align}
S^{-1} \cdot C \cdot S &= \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & -1\\
-1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 1\\
-1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 2 & 1\\
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 1\\
-1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{align}
Programmierung
Hier habe ich mal für Leute, die kein Python haben, als Kommentar das Ergebnis präsentiert. Ich denke damit ist klar, welchen Einfluss die Reihenfolge der Basisvektoren hat.
#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy
from numpy import linalg
numpy.set_printoptions(precision=2, suppress=True, linewidth=120)
C = [[1, 0, -1, -1], [-1, 0, 0, 0], [0, 0, 2, 1], [1, 1, 0, 1]]
C = numpy.matrix(C)
b1 = [1, 0, 0, 0]
b2 = [0, -1, 0, 1]
b3 = [-1, 1, 1, -1]
b4 = [1, -1, 0, 0]
S = numpy.matrix([b4, b1, b2, b3]).transpose() # [[ 1 0 0 0]
print("4123") # [ 0 1 0 0]
print(linalg.inv(S) * C * S) # [ 0 1 1 0]
# [ 0 0 1 1]]
S = numpy.matrix([b4, b1, b3, b2]).transpose() # [[ 1 0 0 0]
print("4132") # [ 0 1 0 0]
print(linalg.inv(S) * C * S) # [ 0 0 1 1]
# [ 0 1 0 1]]
S = numpy.matrix([b4, b2, b1, b3]).transpose() # [[ 1 0 0 0]
print("4213") # [ 0 1 1 0]
print(linalg.inv(S) * C * S) # [ 0 0 1 0]
# [ 0 1 0 1]]
S = numpy.matrix([b4, b2, b3, b1]).transpose() # [[ 1 0 0 0]
print("4231") # [ 0 1 0 1]
print(linalg.inv(S) * C * S) # [ 0 1 1 0]
# [ 0 0 0 1]]
S = numpy.matrix([b4, b3, b1, b2]).transpose() # [[ 1 0 0 0]
print("4312") # [ 0 1 0 1]
print(linalg.inv(S) * C * S) # [ 0 0 1 0]
# [ 0 0 1 1]]
S = numpy.matrix([b4, b3, b2, b1]).transpose() # [[ 1 0 0 0]
print("4321") # [ 0 1 1 0]
print(linalg.inv(S) * C * S) # [ 0 0 1 1]
# [ 0 0 0 1]]
S = numpy.matrix([b3, b2, b1, b4]).transpose() # [[ 1 1 0 0]
print("3214") # [ 0 1 1 0]
print(linalg.inv(S) * C * S) # [ 0 0 1 0]
# [ 0 0 0 1]]