Jordansche Normalform: 4x4 Matrizen

Hier sind \begin{align} \dim \text{Eig}(-1) &= \dim \text{Kern}(A +1 \cdot I) \\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 47 & 11\\ 3 & 3 & 8 & 15\\ 0 & 0 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 8 & 2 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1.5 & 0\\ 1 & 1 & -3 & 13\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1.5 & 0\\ 0 & 0 & -4.5 & 13\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1.5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 14 \frac{1}{8}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \dim \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0 \end{pmatrix}\right ]\\ &= 1 \end{align} Es gibt im Jordanblock zu \begin{align} \dim \text{Eig}(1) &= \dim \text{Kern}(A-E)\\ &= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix} -2 & -2 & 2 & 2\\ 2 & -1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & 3 & 3\\ 0 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \dim \text{Kern }\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \dim \left [\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix} \right ] = 1 \end{align}J_B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{align} K_2(1) &= \text{Kern}(\Omega(1)^2) \\ &= \text{Kern }\begin{pmatrix} -2 & -2 & 2 & 2\\ 2 & -1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}^2 \\ &= \text{Kern }\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4 & -4\\ -4 & 0 & 0 & 4\\ -4 & -4 & 4 & 4\\ 0 & 4 & -4 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \text{Kern }\begin{pmatrix}\\ 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \left [ \begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} \right ] \end{align}K_2(1)\begin{align} \Omega &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \Omega^2 &= \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\\ \Omega^3 &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align}. \begin{align} \text{Eig}(1) &= K_1(1) = \text{Kern}(\Omega) \\ &= \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix} \right ] \end{align} \begin{align} K_2(1) &= \text{Kern}(\Omega^2) \\ &= \text{Kern} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \left [ \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix} \right ]\\ K_3(1) &= \text{Kern}(\Omega^3) = \mathbb{R}^4\\ \end{align}K_3(1) = \mathbb{R}^4$ ist das größte Jordankästchen von der Größe 3. Damit ergibt sich folgende Jordannormalform: $J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Basiswechselmatrix bestimmen

Für jedes Jordankästchen der Länge $i$ muss nun 1 Vektor gewählt werden und $i-1$ Vektoren müssen bestimmt werden. Dafür muss $\Omega(\lambda) := C - \lambda \cdot E$ bestimmt werden. Eigenwert 1: Kästchengröße 3 $b_1 \in K_3(1) \land b_1 \notin K_2(1) \Rightarrow b_1 \in \left [ \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix} \right ]$. Wähle $b_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$. $b_2 = \Omega(b_1) = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$. $b_3 = \Omega^2(b_1) = \Omega(b_2)= \begin{pmatrix}-1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}$ Kästchengröße 1 $b_4 = \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}$ Das 1-er Kästchen soll zuerst kommen, also muss $b_4$ zuerst in die Basiswechselmatrix. Unsere gesuchte Matrix $S$ für die oben angegebene JNF ist also: $S = \begin{pmatrix} b_4 & b_3 & b_2 & b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $ Nun sollte $J = S^{-1} \cdot C \cdot S$ gelten. Also, Schritt für Schritt: \begin{align} S^{-1} \cdot C \cdot S &= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}

Programmierung

Hier habe ich mal für Leute, die kein Python haben, als Kommentar das Ergebnis präsentiert. Ich denke damit ist klar, welchen Einfluss die Reihenfolge der Basisvektoren hat. wzxhzdk:0