Dieser Artikel richtet sich vor allem an Studenten, die im Sommersemester 2012 bei Herrn Prof. Dr. Schmoeger am KIT die Klausur über Analysis schreiben werden.
Vorbereitung
Analysis I
Themen
- Definitionen und Beispiele: Beschränktheit, injektiv, surjektiv, bijektiv, endlich, unendlich, abzählbar, überabzählbar
- Bernoullische Ungleichung: Ist $x \geq -1$, so gilt: $(1+x)^n \geq 1 + nx~~~\forall n \in \mathbb{N}^+$
- Binomischer Lehrsatz: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
- Folgen:
- Konvergenz
- (strenge) Monotonie
- Grenzwert
- Divergenz
- Konvergenzkriterien: Wurzelkriterium, Leibniz-Kriterium, Cauchy-Kriterium, Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Quotientenkriterium
- Eulersche Zahl: $\displaystyle e := \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$
- Häufungswert vs. Häufungspunkt: → Diskussion
- Oberer und unterer Limes
- Unendliche Reihen
- Potenzreihe
- Stetigkeit
- Gleichmäßige Stetigkeit: Definition, Beispiele
- Höhere Ableitungen
- Integrale
- Riemann-Integral
- Uneigentliche Integrale
- Riemann-Stieltjes-Integral
- Partielle Integration
$\int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x.$
- Funktionen beschränkter Variation
- Totalvariation
- Zwischenwertsatz
- Mittelwertsatz
Aufgabenstellungen
- Wahr/Falsch-Ankreuzaufgabe
- Grenzwert von Folgen bestimmen
- Konvergenzradius von Potenzreihen bestimmen
- Zeige, dass eine Funktion stetig ist. Ansatz:
$f \text{ ist stetig in } z :\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \text{ mit } |x - z| < \delta: |f(x)- f(z)| < \varepsilon$ - Zeige, dass eine Funktion differenzierbar ist.
Ansatz: h-Methode
$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ - Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen
- Allgemeine Eigenschaften der e-Funktion und der Winkelfunktionen
- Wert von Integralen bestimmen
Analysis II
Themen und Schlagworte
- Quadratische Formen
- Umkehrsatz
- Implizit definierte Funktionen
- Wege
- Weglänge: $L(\gamma) = \int \| \gamma'(t) \| dt$
- Wegintegral: $\int_\gamma f(x, y, z) d(x,y,z) = \int f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt$
- Fixpunkte, Fixpunktsatz von Banach
- Jacobi-Matrix
- Extremwerte
- ... unter Nebenbedingungen
- Hessematrix
- Differentialgleichungen
- Systeme linearer Differentialgleichungen
- Anfangswertprobleme
- Fundamentalsystem
- Variation der Konstanten
- Satz von Picard-Lindelöf
Aufgabenstellungen
- Sind gegebene Mengen offen, abgeschlossen bzw. vollständig?
- Rand einer Menge bestimmen
- Lokale und globale Extrema einer Funktion $f$ bestimmen. Ansatz:
Gradient $\nabla f$ bestimmen und gleich null setzen. Die Stellen, die das erfüllen, sind die kritischen Punkte. In Hessematrix einsetzen und Definitheit prüfen. - Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen
- Differenzierbarkeit zeigen → $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)- A \cdot h}{\|h\|}$
- Lösung eines Anfangswertproblems bestimmen
- „Beweisen Sie Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung“ → Picard-Lindelöf
- Zeigen Sie die Rektifizierbarkeit eines Weges $\gamma$:
→ Differenzierbarkeit zeigen, ableiten, Stetigkeit der Ableitung zeigen.
Lernplan
Man sollte die Übungsblätter nochmals machen, die relevanten Kapitel im Skript für Analysis I und im Skript für Analysis II (Bachelor) durchlesen und Klausuren rechnen. (Aktuellere Skripte finden sich in meinem GitHub Repository. Allerdings muss man die PDF selbst erstellen.)
Termine und Klausurablauf
Datum: Dienstag, den 25. September 2012 von 08:00 bis 13:00 Uhr
Ort: Hörsaaleinteilung - Ich bin im Hertz-Hörsaal.
Dauer: 2 h Analysis I, 1 h Pause, 2 h Analysis II
Punkte: 7 Aufgaben à 3 Punkte für Analysis I, 7 Aufgaben à 3 Punkte für Analysis II
Bestehensgrenze: Wohl bei ca. 21 Punkten
Übungsschein: Ist im Studierendenportal eingetragen
Bonuspunkte: Gibt es nicht.
Ergebnisse
Die Klausureinsicht ist am 24.10.2012 von 14:00 - 16:30 Uhr (Quelle).