Klausur Analysis I und II

Vorbereitung

Analysis I

Themen

• Definitionen und Beispiele: Beschränktheit, injektiv, surjektiv, bijektiv, endlich, unendlich, abzählbar, überabzählbar
• Bernoullische Ungleichung: Ist $x \geq -1$, so gilt: $(1+x)^n \geq 1 + nx~~~\forall n \in \mathbb{N}^+$
• Binomischer Lehrsatz: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
• Folgen:
  • Konvergenz
  • (strenge) Monotonie
  • Grenzwert
  • Divergenz
  • Konvergenzkriterien: Wurzelkriterium, Leibniz-Kriterium, Cauchy-Kriterium, Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Quotientenkriterium
  • Eulersche Zahl: $\displaystyle e := \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$
  • Häufungswert vs. Häufungspunkt: → Diskussion
    • Oberer und unterer Limes
• Unendliche Reihen
• Potenzreihe
• Stetigkeit
• Gleichmäßige Stetigkeit: Definition, Beispiele
• Höhere Ableitungen
• Integrale
  • Riemann-Integral
  • Uneigentliche Integrale
  • Riemann-Stieltjes-Integral
  • Partielle Integration
    $\int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x.$
• Funktionen beschränkter Variation
  • Totalvariation
• Zwischenwertsatz
• Mittelwertsatz

Aufgabenstellungen

• Wahr/Falsch-Ankreuzaufgabe
• Grenzwert von Folgen bestimmen
• Konvergenzradius von Potenzreihen bestimmen
• Zeige, dass eine Funktion stetig ist. Ansatz:
  $f \text{ ist stetig in } z :\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \text{ mit } |x - z| < \delta: |f(x)- f(z)| < \varepsilon$
• Zeige, dass eine Funktion differenzierbar ist.
  Ansatz: h-Methode
  $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
• Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen
• Allgemeine Eigenschaften der e-Funktion und der Winkelfunktionen
• Wert von Integralen bestimmen

Analysis II

Themen und Schlagworte

• Quadratische Formen
• Umkehrsatz
• Implizit definierte Funktionen
• Wege
  • Weglänge: $L(\gamma) = \int \| \gamma'(t) \| dt$
  • Wegintegral: $\int_\gamma f(x, y, z) d(x,y,z) = \int f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt$
• Fixpunkte, Fixpunktsatz von Banach
• Jacobi-Matrix
• Extremwerte
  • ... unter Nebenbedingungen
  • Hessematrix
• Differentialgleichungen
  • Systeme linearer Differentialgleichungen
  • Anfangswertprobleme
  • Fundamentalsystem
  • Variation der Konstanten
  • Satz von Picard-Lindelöf

Aufgabenstellungen

• Sind gegebene Mengen offen, abgeschlossen bzw. vollständig?
• Rand einer Menge bestimmen
• Lokale und globale Extrema einer Funktion $f$ bestimmen. Ansatz:
  Gradient $\nabla f$ bestimmen und gleich null setzen. Die Stellen, die das erfüllen, sind die kritischen Punkte. In Hessematrix einsetzen und Definitheit prüfen.
• Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen
• Differenzierbarkeit zeigen → $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)- A \cdot h}{\|h\|}$
• Lösung eines Anfangswertproblems bestimmen
• „Beweisen Sie Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung“ → Picard-Lindelöf
• Zeigen Sie die Rektifizierbarkeit eines Weges $\gamma$:
  → Differenzierbarkeit zeigen, ableiten, Stetigkeit der Ableitung zeigen.

Lernplan

Man sollte die Übungsblätter nochmals machen, die relevanten Kapitel im Skript für Analysis I und im Skript für Analysis II (Bachelor) durchlesen und Klausuren rechnen. (Aktuellere Skripte finden sich in meinem GitHub Repository. Allerdings muss man die PDF selbst erstellen.)

Termine und Klausurablauf

Datum: Dienstag, den 25. September 2012 von 08:00 bis 13:00 Uhr
Ort: Hörsaaleinteilung - Ich bin im Hertz-Hörsaal.
Dauer: 2 h Analysis I, 1 h Pause, 2 h Analysis II
Punkte: 7 Aufgaben à 3 Punkte für Analysis I, 7 Aufgaben à 3 Punkte für Analysis II
Bestehensgrenze: Wohl bei ca. 21 Punkten
Übungsschein: Ist im Studierendenportal eingetragen
Bonuspunkte: Gibt es nicht.

Ergebnisse

Die Klausureinsicht ist am 24.10.2012 von 14:00 - 16:30 Uhr (Quelle).