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Klausur Analysis I und II

Contents

  • Vorbereitung
    • Analysis I
    • Analysis II
  • Lernplan
  • Termine und Klausurablauf
  • Ergebnisse
Dieser Artikel richtet sich vor allem an Studenten, die im Sommersemester 2012 bei Herrn Prof. Dr. Schmoeger am KIT die Klausur über Analysis schreiben werden.

Vorbereitung

Analysis I

Themen

  • Definitionen und Beispiele: Beschränktheit, injektiv, surjektiv, bijektiv, endlich, unendlich, abzählbar, überabzählbar
  • Bernoullische Ungleichung: Ist $x \geq -1$, so gilt: $(1+x)^n \geq 1 + nx~~~\forall n \in \mathbb{N}^+$
  • Binomischer Lehrsatz: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$
  • Folgen:
    • Konvergenz
    • (strenge) Monotonie
    • Grenzwert
    • Divergenz
    • Konvergenzkriterien: Wurzelkriterium, Leibniz-Kriterium, Cauchy-Kriterium, Majorantenkriterium, Minorantenkriterium, Quotientenkriterium
    • Eulersche Zahl: $\displaystyle e := \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{n!}$
    • Häufungswert vs. Häufungspunkt: → Diskussion
      • Oberer- und unterer Limes
  • Unendliche Reihen
  • Potenzreihe
  • Stetigkeit
  • Gleichmäßige Stetigkeit: Definition, Beispiele
  • Höhere Ableitungen
  • Integrale
    • Riemann-Integral
    • Uneigentliche Integrale
    • Riemann-Stieltjes-Integral
    • Partielle Integration
      $\int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x.$
  • Funktionen beschränkter Variation
    • Totalvariation
  • Zwischenwertsatz
  • Mittelwertsatz

Aufgabenstellungen

  • Wahr/Falsch-Ankreuzaufgabe
  • Grenzwert von Folgen bestimmen
  • Konvergenzradius von Potenzreihen bestimmen
  • Zeige, dass eine Funktion stetig ist. Ansatz:
    $f \text{ ist stetig} :\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta \ \forall x, z \text{ mit } |x - z| < \delta: |f(x)- f(z)| < \varepsilon$
  • Zeige, dass eine Funktion differenzierbar ist. Ansatz: h-Methode
    $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
  • Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen
  • Allgemeine Eigenschaften der e-Funktion und der Winkelfunktionen
  • Wert von Integralen bestimmen

Analysis II

Themen und Schlagworte

  • Quadratische Formen
  • Umkehrsatz
  • Implizit definierte Funktionen
  • Wege
    • Weglänge: $L(\gamma) = \int \| \gamma'(t) \| dt$
    • Wegintegral: $\int_\gamma f(x, y, z) d(x,y,z) = \int f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt$
  • Fixpunkte, Fixpunktsatz von Banach
  • Jacobi-Matrix
  • Extremwerte
    • ... unter Nebenbedingungen
    • Hessematrix
  • Banachscher Fixpunktsatz
  • Differentialgleichungen
    • Systeme linearer Differentialgleichungen
    • Anfangswertprobleme
    • Fundamentalsystem
    • Variation der Konstanten
    • Satz von Picard-Lindelöf

Aufgabenstellungen

  • Sind gegebene Mengen offen, abgeschlossen bzw. vollständig?
  • Rand einer Menge besttimmen
  • Lokale und globale Extrema einer Funktion $f$ bestimmen. Ansatz:
    Gradient $\nabla f$ bestimmen und gleich null setzen. Die Funktionswerte, die das erfüllen, sind die kritischen Punkte. In Hessematrix einsetzen und Definitheit prüfen.
  • Lösung von nichtlinearen Gleichungssystem
  • Differenzierbarkeit zeigen → $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)- A \cdot h}{\|h\|}$
  • Lösung eines Anfangswertproblems bestimmen
  • „Beweisen Sie Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung“ → Picard-Lindelöf
  • Zeigen Sie die rektifizierbarkeit eines Weges $\gamma$:
    → Differenzierbarkeit zeigen, ableiten, stetigkeit der Ableitung zeigen.

Lernplan

Man sollte die Übungsblätter nochmals machen, die relevanten Kapitel im Skript für Analysis I und im Skript für Analysis II (Bachelor) durchlesen und Klausuren rechnen. (Aktuellere Skripte finden sich in meinem GitHub Repository. Allerdings muss man die PDF selbst erstellen.)

Termine und Klausurablauf

Datum: Dienstag, den 25. September 2012 von 08:00 bis 13:00 Uhr
Ort: Hörsaaleinteilung - Ich bin im Hetz-Hörsaal.
Dauer: 2 h Analysis I, 1 h Pause, 2 h Analysis II
Punkte: 7 Aufgaben à 3 Punkte für Analysis I, 7 Aufgaben à 3 Punkte für Analysis II
Bestehensgrenze: Wohl bei ca. 21 Punkten
Übungsschein: Ist im Studierendenportal eingetragen
Bonuspunkte: Gibt es nicht.

Ergebnisse

Die Klausureinsicht ist am 24.10.2012 von 14:00 - 16:30 Uhr (Quelle).

Published

Aug 14, 2012
by Martin Thoma

Category

German posts

Tags

  • Klausur 34

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