Behandelter Stoff
Es wäre toll, wenn ich von jeder Vorlesung einen Mitschrieb hochladen könnte. Gibt es Leute, die mir ihren Mitschrieb schicken würden? Einfach an [email protected] schicken.
- Stochastische Matrix
- Sei $S$ eine Menge und $P = (p_{ij})_{i,j \in S}$ eine Matrix. $P$ heißt stochastische Matrix, falls $\forall i,j \in S: p_{i,j} \geq 0$ gilt und $\forall i \in S: \sum_{j \in S} p_{ij} = 1$ gilt.
- Markov-Kette
- Sei $P$ eine stochastische Matrix. Eine Folge $X_0, X_1, X_2, \dots$ von $S$-wertigen Zufallsvariablen heißt homogene Markov-Kette mit Übergangsmatrix $P$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ und alle Zustände $i_k \in S$ mit $\mathbb{P}(X_0 = i_0, \dots, X_n = i_n) > 0$ gilt $$\mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} | X_0 = i_0, \dots, X_n = i_n) = \mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n) = p_{i_n, i_{n+1}}$$ Die $p_{ij}$ heißen Übergangswahrscheinlichkeiten und die Startverteilung $\nu$ der Kette ist definiert durch $\nu(i) = \mathbb{P}(X_0 = i)$ mit $i \in S$.
- Irreduzible Markov-Kette
- Eine Markov-Kette $(X_n)$ beziehungsweise die Übergangsmatrix $P$ heißen irreduzibel, falls $S$ nur aus einer Klasse besteht.
- Rekurrenter Zustand
- Ein Zustand $i \in S$ heißt rekurrent, falls $f_{ii}^* = 1$.
- Transienter Zustand
- Ein Zustand $i \in S$ heißt transient, falls $f_{ii}^* \neq 1$.
Vorlesung
Zur Vorlesung gibt es das Skript "Markov-Ketten" von Frau Prof. Dr. Bäuerle. (Ich habe eine Version von 2012).
| Datum | Kapitel | Inhalt |
|---|---|---|
| 13.04.2015 | 0. Beispiele (Mitschrieb) | Einführung in Markovketten mit vielen Beispielen (Weg des Betrunkenen, Ehrenfest-Modell, Irrfahrt, Vererbung); absorbierende Zustände; stochastische Matrix |
| 16.04.2015 | 1. | Konstruktion von Markov-Ketten |
| 20.04.2015 | ||
| 21.05.2015 | 3.10 - 4.6 (Mitschrieb) | Total-Variationsabstand, $d(\mu, \nu) = \frac{1}{2} \sum_{i \in S} |\mu(i)- \nu(i)|$, Periode, aperiodisch, ein Konvergenzsatz, Kopplungsargument |
Material und Links
KIT
Sonstiges
- Markov Chains: A very short introduction to Markov chains with beautiful visualizations
- Wahrscheinlichkeitstheorie - Klausur (Info)
- Statistik - Klausur
- Einführung in die Stochastik
Wichtigster Stoff
Wie immer Definitionen (Markovkette, transient, rekurrent, Klasse, irreduzibel)
Wenn man die Matrix so umsortiert, dass rechts unten die rekurrenten Zustände sind (das ist nicht immer eine Einheitsmatrix!), dann heißt die Matrix links oben \(Q\) und rechts oben \(R\). Dann gilt:
- \((E-Q)^{-1} \cdot R\): Absorptionszeit
- \((E-Q)^{-1} \cdot \begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}\): Erwartete Anzahl der Schritte bis zur Absorption.
- Invariantes Maß finden: \(\pi P = \pi\) bzw. \(\pi Q = 0\) im zeitkontinuierlichen Fall
Übungsbetrieb
Es gibt dienstags und mittwochs Tutorien.
- Wo sind die Übungsblätter: Ilias
- Abgabeform: Handgeschrieben (?)
- Abgabe: ?
- Rücknahme: ?
- Turnus: Wöchentlich
- Übungsschein verpflichtend: Nein
- Bonus durch Übungsschein: Nein
Termine und Klausurablauf
Datum: Montag, der 03.08.2015 von 11:00 bis 13:00 Uhr (Quelle)
Ort: Daimler-Hörsaal (Geb. 10.21, Quelle)
Punkte: 60
Punkteverteilung: 6 Aufgaben mit 9-13 Punkten
Bestehensgrenze: ?
Übungsschein: ?
Bonuspunkte: ?
Ergebnisse: ?
Einsicht: Montag, 19.10.2015, 13:00 Uhr - 13:30 Uhr, Im Raum 2.071, Mathematikgebäude
Erlaubte Hilfsmittel: ?