Weil das Thema so wichtig ist und man es doch recht leicht vergisst:
Sei $I \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion.
- $f$ heißt in $x_0 \in I$ differenzierbar $\displaystyle :\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ existiert und ist in $\mathbb{R}$.
In diesem Fall heißt $\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ die Ableitung von $f$ in $x_0$. - $f$ heißt auf $I$ differenzierbar $:\Leftrightarrow \forall x \in I: f \text{ ist in } x$ differenzierbar.
In diesem Fall wird durch $x \mapsto f'(x)$ eine Funktion $f':I \rightarrow \mathbb{R}$ definiert, die Ableitung von $f$ auf $I$.
Und wie zeigt man die Existenz dieses Grenzwertes? Das ist eine andere Frage :-P Man sollte sich vielleicht nochmal den Artikel Konvergenz von Folgen bzw. Konvergenz von Reihen anschauen.
Ach ja, man kann auch zeigen, dass $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ existiert und in $\mathbb{R}$ ist. Das ist äquivalent.