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Markovsche Ketten - Klausur

Contents

  • Markovsche Ketten - Klausur
    • Behandelter Stoff
      • Vorlesung
    • Material und Links
      • KIT
      • Sonstiges
      • Wichtigster Stoff
    • Übungsbetrieb
    • Termine und Klausurablauf
Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Vorlesung „Markovsche Ketten“ am KIT. Er dient als Prüfungsvorbereitung. Ich habe die Vorlesungen bei Herrn Dr. Bernhard Klar im Sommersemester 2015 gehört. Aufgrund des sehr guten Skripts wurde dieser Artikel nie richtig begonnen.

Behandelter Stoff

Es wäre toll, wenn ich von jeder Vorlesung einen Mitschrieb hochladen könnte. Gibt es Leute, die mir ihren Mitschrieb schicken würden? Einfach an [email protected] schicken.

Stochastische Matrix
Sei $S$ eine Menge und $P = (p_{ij})_{i,j \in S}$ eine Matrix. $P$ heißt stochastische Matrix, falls $\forall i,j \in S: p_{i,j} \geq 0$ gilt und $\forall i \in S: \sum_{j \in S} p_{ij} = 1$ gilt.
Markov-Kette
Seit $P$ eine stochastische Matrix. Eine Folge $X_0, X_1, X_2, \dots$ von $S$-wertigen Zufallsvariablen heißt homogene Markov-Kette mit Übergangsmatrix $P$, falls für alle $n \in \mathbb{N}$ und alle Zustände $i_k \in S$ mit $\mathbb{P}(X_0 = i_0, \dots, X_n = i_n) > 0$ gilt $$\mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} | X_0 = i_0, \dots, X_n = i_n) = \mathbb{P}(X_{n+1} = i_{n+1} | X_n = i_n) = p_{i_n, i_{n+1}}$$ Die $p_{ij}$ heißen Übergangswahrscheinlichkeiten und die Startverteilung $\nu$ der Kette ist definiert durch $\nu(i) = \mathbb{P}(X_0 = i)$ mit $i \in S$.
Irreduzible Markov-Kette
Eine Markov-Kette $(X_n)$ beziehungsweise die Übergangsmatrix $P$ heißen irreduziebel, falls $S$ nur aus einer Klasse besteht.
Recurrenter Zustand
Ein Zustand $i \in S$ heißt rekurrent, falls $f_{ii}^* = 1$.
Transienter Zustand
Ein Zustand $i \in S$ heißt rekurrent, falls $f_{ii}^* \neq 1$.

Vorlesung

Zur Vorlesung gibt es das Skript "Markov-Ketten" von Frau Prof. Dr. Bäuerle. (Ich habe eine Version von 2012).

Datum Kapitel Inhalt
13.04.2015 0. Beispiele (Mitschrieb) Einführung in Markovketten mit vielen Beispielen (Weg des Betrunkenen, Ehrenfest-Modell, Irrfahrt, Vererbung); absorbierende Zustände; stochastische Matrix
16.04.2015 1. Konstruktion von Markov-Ketten
20.04.2015
21.04.2015 3.10 - 4.6 (Mitschrieb) Total-Variationsabstand, $d(\mu, \nu) = \frac{1}{2} \sum_{i \in S} |\mu(i)- \nu(i)|$, Periode, aperiodisch, ein Konvergenzsatz, Kopplungsargument

Material und Links

KIT

  • Vorlesungswebsite
  • Ilias

Sonstiges

  • Markov Chains: A very short introduction to markov chains with beautiful visualizations
  • Wahrscheinlichkeitstheorie - Klausur (Info)
  • Statistik - Klausur
  • Einführung in die Stochastik

Wichtigster Stoff

Wie immer Definitionen (Markovkette, transient, rekurrent, Klasse, irreduzibel)

Wenn man die Matrix so umsortiert, dass rechts unten die rekurrenten Zustände sind (das ist nicht immer eine Einheitsmatrix!), Dann heißt die Matrix links oben \(Q\) und rechts oben \(R\). Dann gilt:

  • \((E-Q)^{-1} \cdot R\): Absorptionszeit
  • $$(E-Q)^{-1} \cdot \begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}$$
    : Schritte bis zur Absorption.
  • Invariantes Maß finden: \(\pi P = \pi\) bzw. \(\pi Q = 0\) im zeitkontinuierlichen Fall

Übungsbetrieb

Es gibt Dienstags und Mittwochs Tutorien.

  • Wo sind die Übungsblätter: Ilias
  • Abgabeform: Handgeschrieben (?)
  • Abgabe: ?
  • Rücknahme: ?
  • Turnus: Wöchentlich
  • Übungsschein verpflichtend: Nein
  • Bonus durch Übungsschein: Nein

Termine und Klausurablauf

Datum: Montag, der 03.08.2015 von 11:00 bis 13:00 Uhr (Quelle)
Ort: Daimler-Hörsaal (Geb. 10.11, Quelle)
Punkte: 60
Punkteverteilung: 6 Aufgaben mit 9-13 Punkten
Bestehensgrenze: ?
Übungsschein: ?
Bonuspunkte: ?
Ergebnisse: ?
Einsicht: Montag, 19.10.2015, 13:00 Uhr - 13:30 Uhr, Im Raum 2.071, Mathematikgebäude
Erlaubte Hilfsmittel: ?


Published

Apr 13, 2015
by Martin Thoma

Category

German posts

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  • Klausur 34
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  • mathematics 59

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