I was never really taught how to deal with the absolute value function, but I need it from time to time. So here are a few hints. Solving Equations Let's say you want to solve the equation $$|x - a | = b$$ for \(x\). Then you need to realize that this equation … Read more »
This is a quick article I have had as a draft for quite a while. It might not be finished or have other problems, but I still want to share it. Eine Menge B heißt abzählbar $: \Leftrightarrow \exists (a_n) \in B: B = \{a_1, a_2, a_3, ...\}$ $\Leftrightarrow \exists f : \mathbb{N … Read more »
Folgender Artikel basiert auf meinem Mitschrieb der Analysis III Übung bei Herrn Bolleyer. Sei \(A \in \mathfrak{B}_d\) mit \(A^0 \neq \emptyset\) und \(\lambda_d (A \setminus A^0) = 0\) sowie \(\phi \in C^1(U, \mathbb{R}^d)\) mit \(U \subseteq \mathbb{R}^d\) offen und \(A \subseteq … Read more »
Weil das Thema so wichtig ist und man es doch recht leicht vergisst: Sei $I \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall und $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion. $f$ heißt in $x_0 \in I$ differenzierbar $\displaystyle :\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$ existiert und ist … Read more »
Hier sind ein paar schöne Aufgaben und ausführliche Lösungsfindungsbeschreibungen zur Integralrechnung. Diesen Artikel werde ich ergänzen, wenn ich weitere schöne Aufgaben finde. Aufgabe 1 Aufgabenstellung: Berechne das bestimmte Integral \(\int_1^2 \frac{\arctan(x)}{x^2} dx\). Wissen: Partielle Integration Integration durch Substitution Partialbruchzerlegung $(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x … Read more »
Integration durch Substitution ist eine elementare Methode zum Finden von Stammfunktionen von Integralen bzw. zum Berechnen von Integralen. Unbestimmte Integrale Beispiel 1 \(\int e^{2x} dx = ?\) Substituiere \(u = 2x\) und \(u'(x) = \frac{du}{dx} = 2 \Rightarrow dx = \frac{du}{2}\) Also: \begin{align} \int e^{2x} dx &\stackrel{sub … Read more »
Die partielle Integration bietet eine schöne Möglichkeit, Stammfunktionen von Integralen zu bestimmen. Dazu muss man folgende Regel können: Seien \(f, g\) stetig differenzierbare Funktionen. \(\displaystyle \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = \left [f(x)\cdot g(x) \right ]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot … Read more »
Die folgenden Definitionen sind wortwörtlich aus dem inoffiziellem Skript für Analysis I bei Herrn Dr. Schmoeger übernommen worden. Dreiecksungleichung Ist $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ absolut konvergent, so ist $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ konvergent und es gilt: $\left | \sum_{n=1}^{\infty}a_n \right | \leq \sum_{n=1}^{\infty … Read more »
Sei $(a_n)$ eine Folge. $(a_n)$ heißt konvergent $:\Leftrightarrow \exists_{a \in \mathbb{R}} \forall_{ \varepsilon > 0} \exists_{n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}}: |a_n - a | Grenzwert von $(a_n)$ und man schreibt: $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n) = a$. Ist … Read more »
Dieser Artikel richtet sich vor allem an Studenten, die im Sommersemester 2012 bei Herrn Prof. Dr. Schmoeger am KIT die Klausur über Analysis schreiben werden. Vorbereitung Analysis I Themen Definitionen und Beispiele: Beschränktheit, injektiv, surjektiv, bijektiv, endlich, unendlich, abzählbar, überabzählbar Bernoullische Ungleichung: Ist $x \geq -1$, so gilt: $(1+x … Read more »
